A sequência de números de Fibonacci é um caso famoso, mas vamos analisar uma sequência similar. Considere uma sequência \mathrm{A}(\mathrm{n}) definida pelas seguintes condições:
  • \mathrm{A}(0)=2
  • \mathrm{A}(1)=7
  • \mathrm{A}(\mathrm{n})=\mathrm{A}(\mathrm{n}-1)+2 \mathrm{~A}(\mathrm{n}-2), para \mathrm{n} \geq 2
Resolva esta relação de recorrência para encontrar uma fórmula de forma fechada para \mathrm{A}(\mathrm{n}).

Passo 1

O enunciado define a sequência A(n) por
A(0)=2,
A(1)=7
e
A(n)=A(n-1)+2\,A(n-2) para n\ge2.
Este é um caso de recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos resolvê-la pelo método da equação característica.

Passo 2

Substituindo A(n)=r^n na recorrência e dividindo por r^{n-2} obtemos a equação característica
r^2 - r - 2 = 0.
Suas raízes são
r_1 = 2 \quad\text{e}\quad r_2 = -1.

Passo 3

A solução geral da recorrência é
A(n) = \alpha\,2^n + \beta\,(-1)^n,
onde \alpha e \beta serão determinadas pelas condições iniciais.

Passo 4

Para n=0:
\alpha + \beta = 2.
Para n=1:
2\alpha - \beta = 7.
Somando essas duas equações dá 3\alpha = 9, logo \alpha = 3.
Então \beta = 2 - 3 = -1.

Resposta

A(n) = 3\cdot 2^n \;-\;(-1)^n.

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