A sequência de números de Fibonacci é um caso famoso, mas vamos analisar uma sequência similar. Considere uma sequência
definida pelas seguintes condições:
-
-
-
, para
Resolva esta relação de recorrência para encontrar uma fórmula de forma fechada para
.
Passo 1
O enunciado define a sequência
por
,
e
para
.
Este é um caso de recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos resolvê-la pelo método da equação característica.
e
Este é um caso de recorrência linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos resolvê-la pelo método da equação característica.
Passo 2
Substituindo
na recorrência e dividindo por
obtemos a equação característica
Suas raízes são
Passo 3
A solução geral da recorrência é
onde
e
serão determinadas pelas condições iniciais.
Passo 4
Para
:
.
Para :
Para
Somando essas duas equações dá
, logo
.
Então .
Então