3.4 A Rubbermaid Plastics planeja comprar um robô retilíneo para retirar peças de uma máquina de moldagem por injeção. Devido à velocidade do robô, a empresa espera que os custos de produção diminuam em $100.000 ao ano, em cada um dos 3 primeiros anos, e em $ 200.000 ao ano, nos 2 anos seguintes. Qual é o valor presente das economias de custo se a empresa usar uma taxa de juros de 15% ao ano nesses investimentos?
Passo 1
O enunciado pede o valor presente (hoje) das economias de custo geradas por um robô, sabendo:
- Redução de custo de
por ano em cada um dos 3 primeiros anos (anos ). - Redução de custo de
por ano em cada um dos 2 anos seguintes (anos ). - Taxa de juros (taxa de desconto) de
ao ano, ou seja .
A pergunta é: qual é o valor presente (somatório descontado ao tempo zero) dessas economias usando
.
Passo 2
Conceito básico: valor presente de um fluxo futuro único.
Se uma quantia futura é recebida no ano
, o valor presente dessa quantia é dado por
Se uma quantia futura
onde:
-
é o valor presente (hoje), -
é o valor recebido no futuro (no ano ), -
é a taxa de juros anual (aqui ), -
é o número de anos até o recebimento.
Explicação curta: dividir por
“traz” o dinheiro futuro para hoje, porque um dólar hoje aplicado a
cresce para
amanhã; desfazemos isso.
Passo 3
Para várias parcelas iguais (anuidade) pagas nos anos
a
, existe fórmula fechada para o valor presente:
onde
é o pagamento periódico.
Breve derivação intuitiva: essa soma é uma série geométrica; a fórmula é a soma dessa série aplicada ao fator de desconto. Essa é uma ferramenta prática na prova para somar pagamentos iguais rapidamente.
Breve derivação intuitiva: essa soma é uma série geométrica; a fórmula é a soma dessa série aplicada ao fator de desconto. Essa é uma ferramenta prática na prova para somar pagamentos iguais rapidamente.
No nosso problema há duas “anualidades” diferentes:
- Anualidade A:
, (anos 1 a 3). - Anualidade B:
, (anos 4 e 5). A anualidade B começa somente no ano 4, então é uma anualidade de 2 pagamentos “deferida” por 3 anos. Vamos calcular o valor presente dessa anualidade primeiro no tempo e depois descontar de para .
Passo 4
Calcular o valor presente da anualidade A (
por 3 anos) usando a fórmula:
Primeiro calcule
:
Então
Continuando:
Dividindo por
:
Portanto
Passo 5
Calcular a anualidade B: são
nos anos
e
. Primeiro calcular o valor presente dessa anuidade no tempo
(ou seja, o valor imediatamente antes do primeiro pagamento de
). Para uma anuidade de
pagamentos:
Calcule
. Como
, tem-se
Então
Dividindo por
:
Logo
Passo 6
Descontar
de
para
dividindo por
:
(Coloquei os valores numéricos com aproximação aos centavos; o procedimento é dividir pelo fator de acumulação de três anos.)
Passo 7
Somar os valores presentes das duas partes para obter o valor presente total:
Passo 8
Interpretação final curta e incentivo: isso significa que, com taxa de desconto de
ao ano, as economias futuras somam hoje aproximadamente
. Dá pra usar a fórmula de anuidade sempre que houver pagamentos iguais; para pagamentos que começam depois de
(deferred), calcule o PV no início do período e depois desconte para
. Você conseguiu — é só aplicar a mesma ideia na prova com calma.