3.4 A Rubbermaid Plastics planeja comprar um robô retilíneo para retirar peças de uma máquina de moldagem por injeção. Devido à velocidade do robô, a empresa espera que os custos de produção diminuam em $100.000 ao ano, em cada um dos 3 primeiros anos, e em $ 200.000 ao ano, nos 2 anos seguintes. Qual é o valor presente das economias de custo se a empresa usar uma taxa de juros de 15% ao ano nesses investimentos?

Passo 1

O enunciado pede o valor presente (hoje) das economias de custo geradas por um robô, sabendo:
  • Redução de custo de \$100.000 por ano em cada um dos 3 primeiros anos (anos 1,2,3).
  • Redução de custo de \$200.000 por ano em cada um dos 2 anos seguintes (anos 4,5).
  • Taxa de juros (taxa de desconto) de 15\% ao ano, ou seja r=0,15.
A pergunta é: qual é o valor presente (somatório descontado ao tempo zero) dessas economias usando r=0,15.

Passo 2

Conceito básico: valor presente de um fluxo futuro único.
Se uma quantia futura \text{FV} é recebida no ano t, o valor presente dessa quantia é dado por
\text{PV}=\frac{\text{FV}}{(1+r)^{t}},
onde:
  • \text{PV} é o valor presente (hoje),
  • \text{FV} é o valor recebido no futuro (no ano t),
  • r é a taxa de juros anual (aqui r=0,15),
  • t é o número de anos até o recebimento.
Explicação curta: dividir por (1+r)^{t} “traz” o dinheiro futuro para hoje, porque um dólar hoje aplicado a r cresce para (1+r) amanhã; desfazemos isso.

Passo 3

Para várias parcelas iguais (anuidade) pagas nos anos 1 a n, existe fórmula fechada para o valor presente:
\sum_{t=1}^{n}\frac{\text{PMT}}{(1+r)^{t}}=\text{PMT}\cdot\frac{1-(1+r)^{-n}}{r},
onde \text{PMT} é o pagamento periódico.
Breve derivação intuitiva: essa soma é uma série geométrica; a fórmula é a soma dessa série aplicada ao fator de desconto. Essa é uma ferramenta prática na prova para somar pagamentos iguais rapidamente.
No nosso problema há duas “anualidades” diferentes:
  • Anualidade A: \text{PMT}_1=\$100.000, n_1=3 (anos 1 a 3).
  • Anualidade B: \text{PMT}_2=\$200.000, n_2=2 (anos 4 e 5). A anualidade B começa somente no ano 4, então é uma anualidade de 2 pagamentos “deferida” por 3 anos. Vamos calcular o valor presente dessa anualidade primeiro no tempo t=3 e depois descontar de t=3 para t=0.

Passo 4

Calcular o valor presente da anualidade A ( \$100.000 por 3 anos) usando a fórmula:
\text{PV}_A=\$100{.}000\cdot\frac{1-(1+0,15)^{-3}}{0,15}.
Primeiro calcule (1+0,15)^{3}:
(1,15)^{2}=1,3225,\qquad (1,15)^{3}=1,3225\times1,15=1,520875.
Então
(1+0,15)^{-3}=\frac{1}{1,520875}\approx0,657516.
Continuando:
1-(1+0,15)^{-3}\approx 1-0,657516=0,342484.
Dividindo por 0,15:
\frac{0,342484}{0,15}\approx2,2832266667.
Portanto
\text{PV}_A\approx \$100{.}000\times2,2832266667=\$228{.}322{,}67.

Passo 5

Calcular a anualidade B: são \$200{.}000 nos anos 4 e 5. Primeiro calcular o valor presente dessa anuidade no tempo t=3 (ou seja, o valor imediatamente antes do primeiro pagamento de \$200{.}000). Para uma anuidade de n=2 pagamentos:
\text{PV}_{B\text{ (em }t=3)}=\$200{.}000\cdot\frac{1-(1+0,15)^{-2}}{0,15}.
Calcule (1+0,15)^{-2}. Como (1,15)^{2}=1,3225, tem-se
(1+0,15)^{-2}=\frac{1}{1,3225}=\frac{400}{529}\approx0,756143667.
Então
1-(1+0,15)^{-2}=1-\frac{400}{529}=\frac{129}{529}\approx0,243856333.
Dividindo por 0,15:
\frac{129/529}{0,15}=\frac{129}{529}\cdot\frac{1}{0,15}=\frac{129}{529}\cdot\frac{20}{3}=\frac{860}{529}\approx1,625708887.
Logo
\text{PV}_{B\text{ (em }t=3)}=\$200{.}000\times\frac{860}{529}=\frac{200{.}000\times860}{529}=\frac{172{.}000{.}000}{529}\approx\$325{.}141{,}78.

Passo 6

Descontar \text{PV}_{B\text{ (em }t=3)} de t=3 para t=0 dividindo por (1+0,15)^{3}=1,520875:
\text{PV}_B=\frac{\$325{.}141{,}78}{1,520875}\approx\$213{.}785{,}98.
(Coloquei os valores numéricos com aproximação aos centavos; o procedimento é dividir pelo fator de acumulação de três anos.)

Passo 7

Somar os valores presentes das duas partes para obter o valor presente total:
\text{PV}_{\text{total}}=\text{PV}_A+\text{PV}_B\approx\$228{.}322{,}67+\$213{.}785{,}98=\$442{.}108{,}65.

Passo 8

Interpretação final curta e incentivo: isso significa que, com taxa de desconto de 15\% ao ano, as economias futuras somam hoje aproximadamente \$442{.}108{,}65. Dá pra usar a fórmula de anuidade sempre que houver pagamentos iguais; para pagamentos que começam depois de t=1 (deferred), calcule o PV no início do período e depois desconte para t=0. Você conseguiu — é só aplicar a mesma ideia na prova com calma.

Resposta

\$442{.}108{,}65

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