(2,0 pontos) Calcule, caso exista, a inversa da matriz .
Passo 1
Beleza! Vamos calcular a inversa da matriz [T] = 1 & 0 & 0 -2 & 2 & 0 -5 & 3 & 5. Para isso, vamos usar o conteúdo de matrizes inversas. Precisamos encontrar o determinante da matriz, a matriz dos cofatores, a adjunta e, finalmente, multiplicar a adjunta pelo inverso do determinante para obter a inversa.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz [T]. Para uma matriz 3 times 3, o determinante é calculado da seguinte forma:
det(T) = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)
Onde:
[T] = a & b & c d & e & f g & h & i
No nosso caso:
a = 1, b = 0, c = 0 d = -2, e = 2, f = 0 g = -5, h = 3, i = 5
Substituindo esses valores na fórmula do determinante:
det(T) = 1 times (2 times 5 - 0 times 3) - 0 times (-2 times 5 - 0 times (-5)) + 0 times (-2 times 3 - 2 times (-5)) = 10
Passo 3
Como o determinante det(T) = 10 é diferente de zero, sabemos que a matriz [T]tem inversa. Se o determinante fosse zero, não teríamos como encontrar a inversa.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a matriz dos cofatores. Isso envolve calcular o cofator de cada elemento da matriz original. O cofator Cij de um elemento aij é dado por:
Cij = (-1)^i+j times det(menorij)
Calculando cada cofator:
C11 = (+1) times 2 & 0 3 & 5 = 2 times 5 - 0 times 3 = 10 C12 = (-1) times -2 & 0 -5 & 5 = -(-2 times 5 - 0 times (-5)) = 10 C13 = (+1) times -2 & 2 -5 & 3 = (-2 times 3) - (2 times -5) = -6 + 10 = 4 C21 = (-1) times 0 & 0 3 & 5 = - (0 times 5 - 0 times 3) = 0 C22 = (+1) times 1 & 0 -5 & 5 = 1 times 5 - 0 times (-5) = 5 C23 = (-1) times 1 & 0 -5 & 3 = - (1 times 3 - 0 times (-5)) = -3 C31 = (+1) times 0 & 0 2 & 0 = 0 times 0 - 0 times 2 = 0 C32 = (-1) times 1 & 0 -2 & 0 = - (1 times 0 - 0 times (-2)) = 0 C33 = (+1) times 1 & 0 -2 & 2 = 1 times 2 - 0 times (-2) = 2
Então, a matriz dos cofatores é:
C = 10 & 10 & 4 0 & 5 & -3 0 & 0 & 2
Passo 5
A próxima etapa é encontrar a adjunta da matriz [T], que é simplesmente a transposta da matriz dos cofatores C. Ou seja, trocamos linhas por colunas:
Adj(T) = C^T = 10 & 0 & 0 10 & 5 & 0 4 & -3 & 2
Passo 6
Finalmente, para encontrar a inversa da matriz [T], multiplicamos a adjunta pelo inverso do determinante: