(2,0 pontos) Use o método da bisseção para determinar uma aproximação para a solução da equação
x \ln (x)=1
no intervalo [1,2], com precisão de \varepsilon=0,1. Apresente todas as iterações e indique o intervalo final que satisfaz a precisão exigida.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar, pelo método da bisseção, a raiz de
x\ln(x)=1
no intervalo [1,2] com precisão \varepsilon=0,1. Isto é, definimos
f(x)=x\ln(x)-1
e queremos encontrar um subintervalo [a,b]\subset[1,2] tal que f(a)\,f(b)<0 e b-a<0,1.

Passo 2

Verificamos os sinais em x=1 e x=2:
f(1)=1\cdot\ln(1)-1=-1<0,
f(2)=2\cdot\ln(2)-1\approx0,386>0.
Como f(1) e f(2) têm sinais opostos, há raiz em [1,2].

Passo 3

Primeira iteração:
c_1=\frac{1+2}{2}=1,5,
f(1,5)=1,5\ln(1,5)-1\approx-0,392<0.
Como f(c_1) é negativo, o novo intervalo é
[a_1,b_1]=[1,5,\,2] com comprimento 0,5.

Passo 4

Segunda iteração:
c_2=\frac{1,5+2}{2}=1,75,
f(1,75)=1,75\ln(1,75)-1\approx-0,021<0.
Mantém-se o sinal negativo em c_2, logo escolhemos
[a_2,b_2]=[1,75,\,2] com comprimento 0,25.

Passo 5

Terceira iteração:
c_3=\frac{1,75+2}{2}=1,875,
f(1,875)=1,875\ln(1,875)-1\approx0,180>0.
Agora f(c_3)>0, então o intervalo fica
[a_3,b_3]=[1,75,\,1,875] com comprimento 0,125, ainda maior que \varepsilon.

Passo 6

Quarta iteração:
c_4=\frac{1,75+1,875}{2}=1,8125,
f(1,8125)=1,8125\ln(1,8125)-1\approx0,078>0.
Portanto o intervalo reduz para
[a_4,b_4]=[1,75,\,1,8125]
e seu comprimento é
b_4-a_4=1,8125-1,75=0,0625<0,1,
atendendo à precisão exigida.

Resposta

O método da bisseção converge, em quatro iterações, ao intervalo final
[1,75,\,1,8125],
cujo comprimento 0,0625 é menor que \varepsilon=0,1.

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