Questão 1 Qual a aproximação de \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}\left(x^{2}\right)+3 x d x calculada pela regra do 1 / 3 de Simpson com quatro subintervalos?
(A) 14,9250
(B) 24,7946
(C) 5,0553
(D) 9,9902
(E) 19,8598

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de
\int_{0}^{\pi}\bigl(\operatorname{sen}(x^{2})+3x\bigr)\,dx
pela regra de Simpson 1/3 com quatro subintervalos. O conteúdo é integração numérica e vamos precisar calcular h=(b-a)/n, os nós x_i e os valores f(x_i), depois aplicar
\frac h3\bigl[f_0 + 4f_1 +2f_2+4f_3+f_4\bigr].

Passo 2

Dividimos [0,\pi] em n=4 subintervalos, então
h=\frac{\pi-0}{4}=\frac{\pi}{4}.
Os nós são
x_0=0,\quad x_1=\frac\pi4,\quad x_2=\frac\pi2,\quad x_3=\frac{3\pi}4,\quad x_4=\pi.

Passo 3

Definimos f(x)=\operatorname{sen}(x^2)+3x. Calculando em cada nó:
\begin{aligned} f_0&=f(0)=\operatorname{sen}(0)+0=0,\\\ f_1&=\operatorname{sen}\bigl((\tfrac\pi4)^2\bigr)+3\cdot\tfrac\pi4\approx0,5780+2,3562=2,9342,\\\ f_2&=\operatorname{sen}\bigl((\tfrac\pi2)^2\bigr)+3\cdot\tfrac\pi2\approx0,6240+4,7124=5,3364,\\\ f_3&=\operatorname{sen}\bigl((\tfrac{3\pi}4)^2\bigr)+3\cdot\tfrac{3\pi}4\approx-0,6670+7,0686=6,4016,\\\ f_4&=\operatorname{sen}(\pi^2)+3\pi\approx-0,4310+9,4248=8,9938. \end{aligned}

Passo 4

Aplicamos a regra de Simpson 1/3:
\int_{0}^{\pi}f(x)\,dx\approx \frac{h}{3}\bigl[f_0 + 4f_1 +2f_2+4f_3+f_4\bigr].
Substituindo,
\frac{\pi/4}{3}\bigl[0 +4\cdot2,9342 +2\cdot5,3364 +4\cdot6,4016 +8,9938\bigr].

Passo 5

Calculamos o somatório interno:
0 +4\cdot2,9342 +2\cdot5,3364 +4\cdot6,4016 +8,9938 =57,0098.
Então
\frac{\pi/4}{3}\times57,0098 \approx0,261799\times57,0098\approx14,9250.

Resposta

(A) 14,9250

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