Os preços de um ativo financeiro em 6 meses consecutivos ( ti=i, i=1, ldots, 6) são os seguintes R=(21.3,21.8,21.2,21.3,20.5,21.0) (valores em reais). Desejamos estimar o comportamento dos preços segundo uma função linear barR(t)=alpha+beta t, atribuindo maior peso às observações mais recentes. Usaremos os seguintes pesos para os meses de 1 a 6: lambda=(0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0). Pede-se determinar: a reta de ajuste de mínimos quadrados barR, segundo o produto interno lang<= x, yrang<==sumi=1^6 lambdai xi yi, e a volatilidade da amostra, isto é, o valor sigma dado por sigma^2=sumi=1^6 lambdai(Ri-barR(ti))^2, onde Ri são as componentes do vetor R dos preços do ativo financeiro.

Passo 1

Beleza, o problema é o seguinte: temos preços de um ativo em 6 meses
R=(21.3,,21.8,,21.2,,21.3,,20.5,,21.0),, ti=i (i=1ldots6)
e queremos ajustar uma reta

pelo método dos mínimos quadrados ponderados, usando os pesos
.
Também queremos a “volatilidade” da amostra, definida por
.
Conteúdo: média ponderada, covariância ponderada e mínimos quadrados ponderados.
O que vamos precisar:
  1. Calcular as médias ponderadas de e .
  2. Usar a fórmula do coeficiente angular em mínimos quadrados ponderados.
  3. Achar e depois a soma dos quadrados ponderados dos resíduos.

Passo 2

Primeiro, definimos:
– Soma dos pesos:
W=sumi=1^6lambdai=0.5+0.6+0.7+0.8+0.9+1.0=4.5
– Média ponderada de bar t=1Wsumi=1^6lambdai,ti =0.5cdot1+0.6cdot2+dots+1.0cdot64.5 =17.54.5approx3.8889 :
bar R =1Wsumi=1^6lambdai,Ri =95.064.5approx21.1244,
– Média ponderada de :
onde calculei .

Passo 3

Agora a fórmula de beta =sumi=1^6lambdai,(ti-bar t)(Ri-bar R) sumi=1^6lambdai,(ti-bar t)^2 (o coeficiente angular) em mínimos quadrados ponderados é
sumlambdai(ti-bar t)(Ri-bar R)approx-1.9380, sumlambdai(ti-bar t)^2approx12.4439,
Calculei numerador e denominador:
betaapprox-1.938012.4439approx-0.1557
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Passo 4

Com alpha=bar R-beta,bar t approx21.1244-(-0.1557)cdot3.8889 approx21.7303 em mãos, achamos boxedbar R(t)=21.7303-0.1557,t por
Então nossa reta de ajuste é

Passo 5

Por fim, a volatilidade pedida é
sigma^2=sumi=1^6lambdail(Ri-bar R(ti)r)^2
Calculando cada resíduo sigma^2approx0.3824 Longrightarrow sigmaapproxraiz0.3824approx0.6185 , elevando ao quadrado e somando com o peso, dá

Resposta

Reta de ajuste:
boxedbar R(t)=21.7303-0.1557,t
Volatilidade:
boxedsigmaapprox0.6185(isto é, sigma^2approx0.3824) é

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