Os preços de um ativo financeiro em 6 meses consecutivos (
) são os seguintes
(valores em reais). Desejamos estimar o comportamento dos preços segundo uma função linear
, atribuindo maior peso às observações mais recentes. Usaremos os seguintes pesos para os meses de 1 a
. Pede-se determinar: a reta de ajuste de mínimos quadrados
, segundo o produto interno
, e a volatilidade da amostra, isto é, o valor
dado por
, onde
são as componentes do vetor
dos preços do ativo financeiro.
Passo 1
Beleza, o problema é o seguinte: temos preços de um ativo em 6 meses
e queremos ajustar uma reta
pelo método dos mínimos quadrados ponderados, usando os pesos
Também queremos a “volatilidade” da amostra, definida por
Conteúdo: média ponderada, covariância ponderada e mínimos quadrados ponderados.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Calcular as médias ponderadas de
e . - Usar a fórmula do coeficiente angular
em mínimos quadrados ponderados. - Achar
e depois a soma dos quadrados ponderados dos resíduos.
Passo 2
Primeiro, definimos:
– Soma dos pesos:
– Soma dos pesos:
– Média ponderada de
:
– Média ponderada de
:
onde calculei
.
Passo 3
Agora a fórmula de
(o coeficiente angular) em mínimos quadrados ponderados é
Calculei numerador e denominador:
logo
Passo 4
Com
em mãos, achamos
por
Então nossa reta de ajuste é
Passo 5
Por fim, a volatilidade pedida é
Calculando cada resíduo
, elevando ao quadrado e somando com o peso, dá
Resposta
Reta de ajuste:
Volatilidade: