Problema 10. Seja
um sistema linear sobre-determinando, com
incógnitas
e m equações,
. Prove que o sistema
, onde
é equivalente ao sistema
.
Aqui, por
denotamos a matriz transposta de
.
Aqui, por
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema linear sobredeterminado com
equações e
incógnitas, e define a função de soma dos quadrados dos resíduos
Nosso objetivo é mostrar que as condições de ótimos (
) geram as equações normais de mínimos quadrados, isto é,
.
Passo 2
Para cada índice
, calculamos a derivada parcial de
em relação a
. Usando regra da cadeia, temos
A condição de ótimo pede
, logo
Passo 3
Reconhecendo que o lado esquerdo dessa equação é exatamente a componente
-ésima de
, concluímos que
que, ao rearranjar, dá as equações normais de mínimos quadrados
Passo 4
Essas equações podem ser reescritas como
o que mostra a equivalência pedida entre
e
.
Resposta
As condições
para todo
geram exatamente o sistema normal de mínimos quadrados