Problema 10. Seja
sumi=1^n ak i xi=bk, k=1,2, ldots, m, m >= n
um sistema linear sobre-determinando, com n incógnitas x1, x2, ldots, xn e m equações, m >= n. Prove que o sistema partial s / partial xp=0, p=1,2, ldots, n, onde
s(x1, x2, ldots, xn)=sumk=1^m(bk-sumi=1^n ak i xi)^2
é equivalente ao sistema A^T A x=A T b.
Aqui, por A^T denotamos a matriz transposta de A.

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear sobredeterminado com m equações e n incógnitas, e define a função de soma dos quadrados dos resíduos
s(x1,dots,xn)=sumk=1^ml(bk-sumi=1^n akixir)^2
Nosso objetivo é mostrar que as condições de ótimos ( partial s/partial xp=0) geram as equações normais de mínimos quadrados, isto é, A^TAx=A^Tb.

Passo 2

Para cada índice p=1,2,dots,n, calculamos a derivada parcial de s em relação a xp. Usando regra da cadeia, temos
partial spartial xp =sumk=1^m 2l(bk-sumi=1^n akixir)cdotl(-akpr) =-2sumk=1^m akpl(bk-sumi=1^n akixir)
A condição de ótimo pede partial s/partial xp=0, logo
sumk=1^m akpl(bk-sumi=1^n akixir)=0,

Passo 3

Reconhecendo que o lado esquerdo dessa equação é exatamente a componente p-ésima de A^T(b-Ax), concluímos que
A^T(b-Ax)=0
que, ao rearranjar, dá as equações normais de mínimos quadrados

Passo 4

Essas equações podem ser reescritas como
A^TAx=A^Tb,
o que mostra a equivalência pedida entre partial s/partial xp=0 e A^TAx=A^Tb.

Resposta

As condições partial s/partial xp=0 para todo p geram exatamente o sistema normal de mínimos quadrados
A^TAx=A^Tb

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