Problema 7. Prova que, se
é uma função par (ímpar) em
, então o polinômio de grau
que melhos a aproxima em
é também par (impar).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, se você tem uma função par (ou ímpar) em
, então o polinômio de grau
que melhor a aproxima em norma
nesse intervalo também herda essa simetria. Vamos usar a ideia de projeção ortogonal em espaços de funções e a decomposição em subespaços par e ímpar.
Passo 2
Primeiro, definições e contexto: dizemos que uma função
é par se
para todo
, e ímpar se
. No espaço
de funções com produto interno definido por
$$\langle u,v\rangle = \int_{-a}^{a}u(x)v(x),dx,
$$
a melhor aproximação de por um polinômio de grau
é sua projeção ortogonal no subespaço
formado por esses polinômios.
a melhor aproximação de
Passo 3
Considere os subespaços
$$V_e={p\in V_n: p(-x)=p(x)}\quade\quad V_o={p\in V_n: p(-x)=-p(x)}.
$$
Como é função ímpar (produto de par por ímpar), essa integral é zero.
Como
Passo 4
Logo,
se decompõe como soma direta ortogonal
Isso significa que todo polinômio
Passo 5
Agora, se
é par, então para qualquer
(ímpar)
$$\langle f,q\rangle = \int_{-a}^{a}f(x),q(x),dx =0,
$$
pois o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar e integra zero em intervalo simétrico. Na projeção ortogonal de em
, a componente sobre
é dada por combinação de
para base
de
, todas nulas. Portanto a projeção de
contém só componente em
.
pois o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar e integra zero em intervalo simétrico. Na projeção ortogonal de
Passo 6
Se
é ímpar, o argumento é análogo trocando papéis de
e
:
para todo
, daí a projeção cai inteiramente em
.
Resposta
O polinômio de melhor aproximação em norma
de uma função par (ímpar) é necessariamente par (ímpar).