Problema 7. Prova que, se f é uma função par (ímpar) em [-a, a], então o polinômio de grau n que melhos a aproxima em L2[-a, a] é também par (impar).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, se você tem uma função par (ou ímpar) em [-a,a], então o polinômio de grau n que melhor a aproxima em norma L^2 nesse intervalo também herda essa simetria. Vamos usar a ideia de projeção ortogonal em espaços de funções e a decomposição em subespaços par e ímpar.

Passo 2

Primeiro, definições e contexto: dizemos que uma função f é par se f(-x)=f(x) para todo x, e ímpar se f(-x)=-f(x). No espaço L^2[-a,a] de funções com produto interno definido por
$$\langle u,v\rangle = \int_{-a}^{a}u(x)v(x),dx,
$$
a melhor aproximação de lang<= u,vrang<= = integral-a^au(x)v(x),dx, por um polinômio de grau f é sua projeção ortogonal no subespaço <= n formado por esses polinômios.

Passo 3

Considere os subespaços
$$V_e={p\in V_n: p(-x)=p(x)}\quade\quad V_o={p\in V_n: p(-x)=-p(x)}.
Ve=pin Vn: p(-x)=p(x)e Vo=pin Vn: p(-x)=-p(x) ãã\langle p,q\rangle = \int_{-a}^{a}p(x)q(x),dx.
$$
Como Ve é função ímpar (produto de par por ímpar), essa integral é zero.

Passo 4

Logo, Vn se decompõe como soma direta ortogonal
Vn = Ve oplus Vo
Isso significa que todo polinômio pin Vn pode ser escrito de forma única como p=pe+po, com pein Ve e poin Vo.

Passo 5

Agora, se f é par, então para qualquer qin Vo (ímpar)
$$\langle f,q\rangle = \int_{-a}^{a}f(x),q(x),dx =0,
$$
pois o produto de uma função par por uma ímpar é ímpar e integra zero em intervalo simétrico. Na projeção ortogonal de lang<= f,qrang<= = integral-a^af(x),q(x),dx =0, em f, a componente sobre Vn é dada por combinação de Vo para base lang<= f,qirang<= de qi, todas nulas. Portanto a projeção de Vo contém só componente em f.

Passo 6

Se f é ímpar, o argumento é análogo trocando papéis de Ve e Vo: lang<= f,prang<==0 para todo pin Ve, daí a projeção cai inteiramente em Vo.

Resposta

O polinômio de melhor aproximação em norma L^2[-a,a] de uma função par (ímpar) é necessariamente par (ímpar).

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