Problema 8. Pelo método dos mínimos quadrados, aproximar a função sin pi x, se os pontos são x0=-1, x1=-1 / 2, x2=0, x3=1 / 2, x4=1.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a função sin(pi x) nos pontos x0=-1, x1=-1/2, x2=0, x3=1/2, x4=1 pelo método dos mínimos quadrados, usando um polinômio de grau 2. Vamos precisar montar o sistema normal para o polinômio p(x)=a+bx+cx^2.

Passo 2

Anotamos os valores de yi=sin(pi xi):
y0=sin(-pi)=0, y1=sin(-pi/2)=-1, y2=0, y3=1, y4=0
Calculamos as somas necessárias:
sum xi=0, sum xi^2=2.5, sum xi^3=0, sum xi^4=2.125,
sum yi=0, sum xi yi=1, sum xi^2yi=0

Passo 3

O sistema normal fica:
5a+2.5c=0,2.5b=1,2.5a+2.125c=0

Passo 4

Da segunda equação tiramos b=1/2.5=0.4. Das outras duas equações vemos que c=0 e portanto a=0.

Resposta

O polinômio de mínimos quadrados é p(x)=0.4,x (isto é, p(x)=tfrac25x).

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