Problema 14. Usando a parabola, construida pelo método dos mínimos quadrados, para a tabela , obter as fórmulas para diferenciação aproximada
Passo 1
O enunciado pede pra gente usar uma parábola ajustada por mínimos quadrados a quatro pontos igualmente espaçados para obter fórmulas de derivada aproximada em . O conteúdo chave é o método dos mínimos quadrados aplicado a um polinômio de grau 2, que leva às equações normais e, depois, à expressão do coeficiente linear e do quadrático do polinômio.
Passo 2
Começamos definindo uma mudança de variável , de modo que os pontos virem (para ). Aproximamos por . Pelos mínimos quadrados, impondo as derivadas parciais da soma de resíduos ao quadrado iguais a zero, obtemos o sistema normal:
Passo 3
Resolvendo esse sistema (eliminando A e isolando primeiro C e depois B), checamos que
C = y0 - y1 - y2 + y34, B = -21y0 +13y1 +17y2 -9y320
Passo 4
A derivada aproximada em x = x0 + i h vem de
$$y’_i \approx q’(i)/h = \frac{B + 2C,i}{h}.
$$Substituindo y'i approx q'(i)/h = B + 2C,ih e B e variando C, obtemos exatamente as fórmulas pedidas: