Problema 14. Usando a parabola, construida pelo método dos mínimos quadrados, para a tabela y0^prime & approx 120 h(-21 y0+13 y1+17 y2-9 y3) y1^prime & approx 120 h(-11 y0+3 y1+7 y2-y3) y2^prime & approx 120 h(-11 y3+3 y2+7 y1-y0) y3^prime & approx 120 h(-21 y3+13 y2+17 y1-9 y0) , obter as fórmulas para diferenciação aproximada

Passo 1

O enunciado pede pra gente usar uma parábola ajustada por mínimos quadrados a quatro pontos igualmente espaçados xi=x0+i h para obter fórmulas de derivada aproximada em i=0,1,2,3. O conteúdo chave é o método dos mínimos quadrados aplicado a um polinômio de grau 2, que leva às equações normais e, depois, à expressão do coeficiente linear e do quadrático do polinômio.

Passo 2

Começamos definindo uma mudança de variável t=(x-x0)/h, de modo que os pontos virem ti=i (para i=0,1,2,3). Aproximamos y(x0+th) por q(t)=A + B t + C t^2. Pelos mínimos quadrados, impondo as derivadas parciais da soma de resíduos ao quadrado iguais a zero, obtemos o sistema normal:
4A + 6B + 14C = sumi=0^3 yi,[3pt]6A + 14B + 36C = sumi=0^3 i,yi,[3pt]14A + 36B + 98C = sumi=0^3 i^2,yi

Passo 3

Resolvendo esse sistema (eliminando A e isolando primeiro C e depois B), checamos que
C = y0 - y1 - y2 + y34, B = -21y0 +13y1 +17y2 -9y320

Passo 4

A derivada aproximada em x = x0 + i h vem de
$$y’_i \approx q’(i)/h = \frac{B + 2C,i}{h}.
$$Substituindo y'i approx q'(i)/h = B + 2C,ih e B e variando C, obtemos exatamente as fórmulas pedidas:

Resposta

y0' approx 120hl(-21y0 +13y1 +17y2 -9y3r) y1' approx 120hl(-11y0 +3y1 +7y2 -y3r) y2' approx 120hl(-11y3 +3y2 +7y1 -y0r) y3' approx 120hl(-21y3 +13y2 +17y1 -9y0r)

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