Problema 11. Resolva o sistema sobre-determinando pelo método dos mínimos quadrados:
lvert, & x-y=1 & x+y=1 & x+y=-1 & x-y=-1

Passo 1

A questão pede a solução pelo método dos mínimos quadrados de um sistema sobredeterminado: quatro equações e duas incógnitas. Vamos reescrever em forma matricial e usar as equações normais para encontrar o par (x,y) que minimiza o erro.

Passo 2

Escrevo o sistema como Au=b, onde u=(x,y)^T,
[
A = 1 & -11 & 11 & 11 & -1, \quad
\mathbf{b} = 11-1-1
]

Passo 3

Para mínimos quadrados montamos as equações normais A^T Au = A^Tb. Primeiro calculo
[
A^T A = 1&1&1&1-1&1&1&-1
1 & -11 & 11 & 11 & -1
= 4 & 00 & 4
]

Passo 4

Em seguida computo
[
A^T\mathbf{b} = 1&1&1&1-1&1&1&-1
11-1-1
= 00
]

Passo 5

Agora resolvo 4x = 0 e 4y = 0, obtendo x=0 e y=0.

Resposta

(x,y) = (0,0)

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