Problema 15. Usando a expansão em série da função integrada, calculem aproximadamente a integral
Passo 1
O problema pede para aproximar a integral
usando a expansão em série de Taylor da função
. Vamos precisar lembrar a série de Taylor de
em torno de zero e depois integrar termo a termo.
Passo 2
A expansão em série de
em torno de
é
Portanto
Passo 3
Agora vamos integrar termo a termo de 0 a 0,5. Para cada termo
, temos
. Assim,
Passo 4
Agora substituímos
em cada termo e calculamos numericamente:
- Primeiro termo:
. - Segundo termo:
. - Terceiro termo:
. - Quarto termo:
.
Passo 5
Somando esses quatro primeiros termos, temos
Os próximos termos da série são ainda menores e contribuem pouco ao valor final, então podemos parar por aqui.
Resposta
Aproximadamente
.