Problema 15. Usando a expansão em série da função integrada, calculem aproximadamente a integral
I=integral0^0,5 tg xx d x

Passo 1

O problema pede para aproximar a integral I=integral0^0.5tan xx,dxusando a expansão em série de Taylor da função tan x. Vamos precisar lembrar a série de Taylor de tan x em torno de zero e depois integrar termo a termo.

Passo 2

A expansão em série de tan x em torno de 0 é
tan x = x + x^33 + 2x^515 + 17x^7315 + cdots
Portanto
tan xx = 1 + x^23 + 2x^415 + 17x^6315 + cdots

Passo 3

Agora vamos integrar termo a termo de 0 a 0,5. Para cada termo a x^n, temos integral0^0.5 a x^n dx = a(0.5)^n+1n+1. Assim,
integral0^0.5tan xxdx = [x + x^39 + 2x^575 + 17x^72205 + cdots]0^0.5

Passo 4

Agora substituímos x=0.5 em cada termo e calculamos numericamente:
  • Primeiro termo: 0.5.
  • Segundo termo: (0.5)^39 = 0.1259 approx 0.0138889.
  • Terceiro termo: 2(0.5)^575 = 2cdot0.0312575 approx 0.0008333.
  • Quarto termo: 17(0.5)^72205 = 17cdot0.00781252205 approx 0.0000602.

Passo 5

Somando esses quatro primeiros termos, temos
0.5 + 0.0138889 + 0.0008333 + 0.0000602 approx 0.5147824
Os próximos termos da série são ainda menores e contribuem pouco ao valor final, então podemos parar por aqui.

Resposta

Aproximadamente 0.5148.

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