Problema 14. Sabendo que o valor da expressão 1+\frac{\cos (\theta)}{3}+\frac{\cos (2 \theta)}{9}+\frac{\cos (3 \theta)}{27}+\ldots. é igual a 1 . Calcule o valor do 1+\cos (3 \theta).

Passo 1

O enunciado dá a soma infinita
1+\frac{\cos(\theta)}{3}+\frac{\cos(2\theta)}{9}+\frac{\cos(3\theta)}{27}+\cdots
e informa que esse valor é igual a 1. A pergunta é: calcular o valor de 1+\cos(3\theta).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • A série infinita pode ser escrita como \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos(n\theta)}{3^{n}}.
  • O valor dessa soma é 1.
  • Precisamos encontrar 1+\cos(3\theta).

Passo 2

Transformar a soma trigonométrica em uma soma geométrica complexa (ideia-chave). Lembrando a fórmula de Euler:
e^{i n\theta}=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta),
logo
\cos(n\theta)=\Re\!\left(e^{i n\theta}\right).
Assim a soma dada é a parte real da soma geométrica complexa
S=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\cos(n\theta)}{3^{n}}=\Re\!\left(\sum_{n=0}^{\infty}\frac{e^{i n\theta}}{3^{n}}\right).
A soma geométrica complexa converge porque \left|e^{i\theta}/3\right|=1/3<1. Pela fórmula da soma geométrica,
\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{e^{i\theta}}{3}\right)^{n}=\frac{1}{1-\dfrac{e^{i\theta}}{3}}=\frac{3}{3-e^{i\theta}}.
Portanto
S=\Re\!\left(\frac{3}{3-e^{i\theta}}\right).

Passo 3

Calcular a parte real de \dfrac{3}{3-e^{i\theta}}. Seja z=e^{i\theta}. Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado do denominador para obter a parte real de forma explícita:
\frac{3}{3-z}=\frac{3(3-\overline{z})}{(3-z)(3-\overline{z})}.
Como \overline{z}=e^{-i\theta} e z\overline{z}=1, o denominador é
(3-z)(3-\overline{z})=9-3z-3\overline{z}+z\overline{z}=10-3(z+\overline{z}).
Mas z+\overline{z}=2\cos\theta. Logo o denominador vira 10-6\cos\theta.
O numerador é 3(3-\overline{z}); a parte real desse numerador é 3(3-\Re(\overline{z})). Como \Re(\overline{z})=\cos\theta, a parte real total é
S=\Re\!\left(\frac{3}{3-e^{i\theta}}\right)=\frac{3(3-\cos\theta)}{10-6\cos\theta}.

Passo 4

Usar a condição do enunciado: S=1. Portanto
\frac{3(3-\cos\theta)}{10-6\cos\theta}=1.
Resolver essa equação para c=\cos\theta. Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
3(3-c)=10-6c.
Desenvolvendo:
9-3c=10-6c.
Isolando c:
-3c+6c=10-9 \quad\Rightarrow\quad 3c=1 \quad\Rightarrow\quad c=\frac{1}{3}.
Portanto \cos\theta=\dfrac{1}{3}.

Passo 5

Encontrar \cos(3\theta) usando a fórmula do cosseno de ângulo triplo. A identidade é
\cos(3\theta)=4\cos^{3}\theta-3\cos\theta.
Substituindo \cos\theta=\dfrac{1}{3}:
\cos(3\theta)=4\left(\frac{1}{3}\right)^{3}-3\left(\frac{1}{3}\right)=\frac{4}{27}-1=\frac{4-27}{27}=-\frac{23}{27}.

Passo 6

Calcular 1+\cos(3\theta):
1+\cos(3\theta)=1-\frac{23}{27}=\frac{27-23}{27}=\frac{4}{27}.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{27}

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