Problema 15. Sabendo que o valor da expressão \sum_{k=1}^{35} \operatorname{sen}(5 k) pode ser escrito da forma \operatorname{tg}\left(\frac{m}{n}\right), onde os ângulos são medidos em graus, m e n são números inteiros positivos relativamente primos entre si que satisfaz \frac{m}{n}<90. Determine o valor de m+n.

Passo 1

O problema dá a soma
S=\sum_{k=1}^{35}\operatorname{sen}\!\bigl(5k^\circ\bigr)
(as medidas dos ângulos estão em graus) e afirma que esse valor pode ser escrito na forma \operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{m}{n}^\circ\bigr), onde m e n são inteiros positivos, \gcd(m,n)=1 e \tfrac{m}{n}<90. A tarefa é determinar m+n.
Informações relevantes fornecidas:
  • A soma tem 35 termos: \operatorname{sen}(5^\circ),\operatorname{sen}(10^\circ),\dots,\operatorname{sen}(175^\circ).
  • Ângulos em graus.
  • Queremos escrever S como \operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{m}{n}^\circ\bigr) e achar m+n.

Passo 2

Vamos derivar uma fórmula geral para somas do tipo \sum_{k=1}^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(kd^\circ\bigr), com d em graus. Isso nos dá uma ferramenta pronta para aplicar ao caso n=35 e d=5^\circ.
Usamos a identidade produto-soma
2\sin A\sin B=\cos(A-B)-\cos(A+B).
Escolhendo A=\tfrac{d}{2} e B=kd obtemos, para cada k,
2\sin\!\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)\operatorname{sen}\!\bigl(kd^\circ\bigr) =\cos\!\bigl((k-\tfrac{1}{2})d^\circ\bigr)-\cos\!\bigl((k+\tfrac{1}{2})d^\circ\bigr).
Somando essa igualdade para k=1,2,\dots,n, o lado direito forma uma soma telescópica:
2\sin\!\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr)\sum_{k=1}^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(kd^\circ\bigr) =\cos\!\bigl(\tfrac{d}{2}^\circ\bigr)-\cos\!\bigl((n+\tfrac{1}{2})d^\circ\bigr).

Passo 3

Transformamos a diferença de cossenos usando
\cos\alpha-\cos\beta = -2\sin\!\bigl(\tfrac{\alpha+\beta}{2}\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{\alpha-\beta}{2}\bigr).
Com \alpha=\tfrac{d}{2}^\circ e \beta=(n+\tfrac{1}{2})d^\circ obtemos
\cos\!\bigl(\tfrac{d}{2}^\circ\bigr)-\cos\!\bigl((n+\tfrac{1}{2})d^\circ\bigr) =2\sin\!\bigl(\tfrac{(n+1)d}{2}^\circ\bigr)\sin\!\bigl(\tfrac{nd}{2}^\circ\bigr).
Substituindo na expressão telescópica e dividindo ambos os lados por 2\sin\!\bigl(\tfrac{d}{2}\bigr) resulta a fórmula conhecida:
\sum_{k=1}^{n}\operatorname{sen}\!\bigl(kd^\circ\bigr) =\dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac{nd}{2}^\circ\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{(n+1)d}{2}^\circ\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{d}{2}^\circ\bigr)}.
Aqui: n é o número de termos, d é a diferença angular entre termos, e \sin é a função seno com argumento em graus.

Passo 4

Aplicamos a fórmula ao nosso caso: n=35 e d=5^\circ. Então
S=\sum_{k=1}^{35}\operatorname{sen}\!\bigl(5k^\circ\bigr) =\dfrac{\sin\!\bigl(\tfrac{35\cdot5}{2}^\circ\bigr)\,\sin\!\bigl(\tfrac{36\cdot5}{2}^\circ\bigr)}{\sin\!\bigl(\tfrac{5}{2}^\circ\bigr)}.
Calculemos os ângulos:
\tfrac{35\cdot5}{2}^\circ = 87{,}5^\circ,\qquad \tfrac{36\cdot5}{2}^\circ = 90^\circ,\qquad \tfrac{5}{2}^\circ = 2{,}5^\circ.
Sabendo que \sin 90^\circ=1, temos
S=\dfrac{\sin 87{,}5^\circ}{\sin 2{,}5^\circ}.

Passo 5

Use a identidade \sin(90^\circ-x)=\cos x. Assim
\sin 87{,}5^\circ=\cos 2{,}5^\circ,
portanto
S=\dfrac{\cos 2{,}5^\circ}{\sin 2{,}5^\circ}=\cot 2{,}5^\circ.
Lembrando que \cot x=\tan(90^\circ-x), obtemos
S=\operatorname{tg}\!\bigl(90^\circ-2{,}5^\circ\bigr)=\operatorname{tg}\!\bigl(87{,}5^\circ\bigr).
Escrevendo 87{,}5^\circ como fração \tfrac{175}{2}^\circ, concluímos que
S=\operatorname{tg}\!\bigl(\tfrac{175}{2}^\circ\bigr).
Aqui m=175 e n=2. Verificações rápidas:
  • \gcd(175,2)=1 (são primos entre si).
  • \tfrac{175}{2}=87{,}5<90, como exigido.

Resposta

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