Problema 15. Sabendo que o valor da expressão
pode ser escrito da forma
, onde os ângulos são medidos em graus, m e n são números inteiros positivos relativamente primos entre si que satisfaz
. Determine o valor de
.
Passo 1
O problema dá a soma
(as medidas dos ângulos estão em graus) e afirma que esse valor pode ser escrito na forma
, onde
e
são inteiros positivos,
e
. A tarefa é determinar
.
Informações relevantes fornecidas:
- A soma tem
termos: . - Ângulos em graus.
- Queremos escrever
como e achar .
Passo 2
Vamos derivar uma fórmula geral para somas do tipo
, com
em graus. Isso nos dá uma ferramenta pronta para aplicar ao caso
e
.
Usamos a identidade produto-soma
Escolhendo
e
obtemos, para cada
,
Somando essa igualdade para
, o lado direito forma uma soma telescópica:
Passo 3
Transformamos a diferença de cossenos usando
Com
e
obtemos
Substituindo na expressão telescópica e dividindo ambos os lados por
resulta a fórmula conhecida:
Aqui:
é o número de termos,
é a diferença angular entre termos, e
é a função seno com argumento em graus.
Passo 4
Aplicamos a fórmula ao nosso caso:
e
. Então
Calculemos os ângulos:
Sabendo que
, temos
Passo 5
Use a identidade
. Assim
portanto
Lembrando que
, obtemos
Escrevendo
como fração
, concluímos que
Aqui
e
. Verificações rápidas:
-
(são primos entre si). -
, como exigido.
Resposta
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