Problema 17. Calcular os limites:
Passo 1
O enunciado pede para calcular dois limites de somatórios:
Este exercício envolve limite de somatórios; no primeiro vamos usar propriedades da série harmônica e no segundo o teorema do confronto para estimar a soma.
Passo 2
Para o primeiro limite, definimos
e usamos a relação com os números harmônicos:
onde
. Sabemos que
, então
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Passo 3
Para o segundo limite, escrevemos a soma como
Note que para todo
vale
Passo 4
Como são
termos, multiplicamos as desigualdades por
:
Pelo teorema do confronto, ambas as fronteiras tendem a 0, logo