Problema 17. Calcular os limites:
lim n infty1n+1+ldots+12 n lim n infty1n^2+1+1n^2+4 cdots+12 n^2

Passo 1

O enunciado pede para calcular dois limites de somatórios:
sumk=n+1^2n1ke sumj=1^n1n^2+j^2
Este exercício envolve limite de somatórios; no primeiro vamos usar propriedades da série harmônica e no segundo o teorema do confronto para estimar a soma.

Passo 2

Para o primeiro limite, definimos
Sn=sumk=n+1^2n1k
e usamos a relação com os números harmônicos:
Sn=H2n-Hn,
onde Hm=1+tfrac12+dots+tfrac1m. Sabemos que Hm=ln m+gamma+o(1), então
Sn=(ln(2n)+gamma+o(1))-(ln n+gamma+o(1))=ln2+o(1)
Logo
limntoinftySn=ln2

Passo 3

Para o segundo limite, escrevemos a soma como
Tn=sumk=1^n1n^2+k^2
Note que para todo 1<= k<= n vale
12n^2<=1n^2+k^2<=1n^2

Passo 4

Como são n termos, multiplicamos as desigualdades por n:
n2n^2=12n<= Tn<= nn^2=1n
Pelo teorema do confronto, ambas as fronteiras tendem a 0, logo
limntoinftyTn=0

Resposta

ln2 e 0

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