Problema 18. Mostrar que
a fórmula de quadratura dos paralelogramos
integrala^b f(x) d x approx(b-a) f(xi)=: QP(f), a <= xi <= b
possui grau de precisão algébrica um quando xi=(a+b) / 2 e zero, caso contrário.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a regra de quadratura dos paralelogramos QP(f)=(b-a)f(xi) tem grau de precisão algébrica 1 se e só se xi=(a+b)/2, e grau 0 caso contrário. Vamos usar o conceito de precisão algébrica e testar a fórmula em monômios crescentes.

Passo 2

Precisão algébrica significa que o método é exato para todos os polinômios de grau até m, mas falha para algum polinômio de grau m+1. Nosso objetivo é achar o maior m tal que integrala^b x^k ,dx = QP(x^k) para todo k<= m.

Passo 3

Testamos primeiro f(x)=1. Temos
integrala^b 1 ,dx = b-a,
e
QP(1) = (b-a)cdot 1 = b-a
Como coincidem para qualquer xi, a regra é exata em grau zero.

Passo 4

Agora testamos f(x)=x. Calculamos
integrala^b x ,dx = b^2 - a^22 = (b-a)a+b2,
enquanto
QP(x) = (b-a),xi
Para que haja exatidão em x, precisamos
(b-a),xi = (b-a)a+b2,
ou seja xi=a+b2. Se xi for o ponto médio, a regra é exata para polinômios de grau 1.

Passo 5

Como em seguida já falha para f(x)=x sempre que xineq(a+b)/2, concluímos que o grau de precisão algébrica é 1 se xi for o ponto médio, e 0 caso contrário.

Resposta

A fórmula tem grau de precisão algébrica 1 quando xi=(a+b)/2 e grau zero para qualquer outro xi.

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