Problema 18. Mostrar que
a fórmula de quadratura dos paralelogramos
possui grau de precisão algébrica um quando
e zero, caso contrário.
a fórmula de quadratura dos paralelogramos
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a regra de quadratura dos paralelogramos
tem grau de precisão algébrica 1 se e só se
, e grau 0 caso contrário. Vamos usar o conceito de precisão algébrica e testar a fórmula em monômios crescentes.
Passo 2
Precisão algébrica significa que o método é exato para todos os polinômios de grau até
, mas falha para algum polinômio de grau
. Nosso objetivo é achar o maior
tal que
para todo
.
Passo 3
Testamos primeiro
. Temos
e
Como coincidem para qualquer
, a regra é exata em grau zero.
Passo 4
Agora testamos
. Calculamos
enquanto
Para que haja exatidão em
, precisamos
ou seja
. Se
for o ponto médio, a regra é exata para polinômios de grau 1.
Passo 5
Como em seguida já falha para
sempre que
, concluímos que o grau de precisão algébrica é 1 se
for o ponto médio, e 0 caso contrário.
Resposta
A fórmula tem grau de precisão algébrica 1 quando
e grau zero para qualquer outro
.