Problema 18. Mostrar que
a fórmula de quadratura dos trapézios
integrala^b f(x) d x approx b-a2[f(a)+f(b)]=: QT(f)
possui grau de precisão algébrica um.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a fórmula de quadratura dos trapézios
integrala^bf(x),dxapproxb-a2l[f(a)+f(b)r]=:QT(f)
tem grau de precisão algébrica igual a 1. O conteúdo envolve regras de quadratura numérica e teste de exatidão em polinômios de grau crescente.

Passo 2

Vamos definir o que é grau de precisão algébrica. Dizemos que uma regra de quadratura tem grau de precisão algébrica m se ela for exata para todo polinômio de grau até m, ou seja, se
integrala^b x^k,dx = QT(x^k)
para todo k=0,1,dots,m, e falhar para algum polinômio de grau m+1.

Passo 3

Testando f(x)=1 (polinômio de grau 0):
Cálculo exato da integral:
integrala^b 1,dx = b-a
Aplicando a regra dos trapézios:
QT(1)=b-a2l[1+1r]=b-a
Como coincidem, a regra é exata para k=0.

Passo 4

Testando f(x)=x (polinômio de grau 1):
Cálculo exato da integral:
integrala^b x,dx = b^2-a^22
Aplicando a regra dos trapézios:
QT(x)=b-a2l[a+br]=(b-a)(a+b)2=b^2-a^22
Também coincide, então a regra é exata para k=1.

Passo 5

Testando f(x)=x^2 (polinômio de grau 2) para verificar que não é exata:
Cálculo exato da integral:
integrala^b x^2,dx = b^3-a^33
Aplicando a regra dos trapézios:
QT(x^2)=b-a2l[a^2+b^2r]
Se fossem iguais, teríamos
b^3-a^33=b-a2(a^2+b^2)
Mas
b-a2(a^2+b^2)=b^3-a^32neqb^3-a^33
em geral, então a regra falha em k=2.

Passo 6

Concluímos que a fórmula de quadratura dos trapézios é exata para todos os polinômios de grau até 1 e falha no grau 2. Portanto, o grau de precisão algébrica é 1.

Resposta

1

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