Problema 18. Mostrar que
a fórmula de quadratura dos trapézios
possui grau de precisão algébrica um.
a fórmula de quadratura dos trapézios
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a fórmula de quadratura dos trapézios
tem grau de precisão algébrica igual a 1. O conteúdo envolve regras de quadratura numérica e teste de exatidão em polinômios de grau crescente.
Passo 2
Vamos definir o que é grau de precisão algébrica. Dizemos que uma regra de quadratura tem grau de precisão algébrica
se ela for exata para todo polinômio de grau até
, ou seja, se
para todo
, e falhar para algum polinômio de grau
.
Passo 3
Testando
(polinômio de grau 0):
Cálculo exato da integral:
Cálculo exato da integral:
Aplicando a regra dos trapézios:
Como coincidem, a regra é exata para
.
Passo 4
Testando
(polinômio de grau 1):
Cálculo exato da integral:
Cálculo exato da integral:
Aplicando a regra dos trapézios:
Também coincide, então a regra é exata para
.
Passo 5
Testando
(polinômio de grau 2) para verificar que não é exata:
Cálculo exato da integral:
Cálculo exato da integral:
Aplicando a regra dos trapézios:
Se fossem iguais, teríamos
Mas
em geral, então a regra falha em
.
Passo 6
Concluímos que a fórmula de quadratura dos trapézios é exata para todos os polinômios de grau até 1 e falha no grau 2. Portanto, o grau de precisão algébrica é 1.
Resposta
1