Problema 18. Mostrar que
a fórmula de quadratura de Simpson
integrala^b f(x) d x approx b-a6[f(a)+4 f(a+b2)+f(b)]=: QS(f)
tem grau de precisão algébrica três.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a regra de quadratura de Simpson
integrala^bf(x),dxapprox QS(f)=b-a6l[f(a)+4fl(tfraca+b2r)+f(b)r]
tem grau de precisão algébrica 3. Vamos testar a exatidão dessa fórmula para monômios f(x)=x^k.

Passo 2

Primeiro, lembramos que o grau de precisão algébrica de uma fórmula Q é o maior inteiro p tal que Q é exata para todos os monômios x^k com k=0,1,\dots,p, e falha em k=p+1.

Passo 3

Testamos f(x)=1 e f(x)=x.
Para f(x)=1:
integrala^b1,dx=b-a,
QS(1)=b-a6l[1+4cdot1+1r]=b-a6cdot6=b-a
Para f(x)=x, seja m=\tfrac{a+b}{2}:
integrala^bx,dx=b^2-a^22,
QS(x)=b-a6[a+4m+b] =b-a6l[a+2(a+b)+br] =b-a6cdot3(a+b) =(b-a)(a+b)2=b^2-a^22
Portanto, é exata para k=0 e k=1.

Passo 4

Testamos f(x)=x^2 e f(x)=x^3.
Para f(x)=x^2:
integrala^bx^2,dx=b^3-a^33,
QS(x^2)=b-a6l[a^2+4m^2+b^2r] =b-a6[a^2+4tfrac(a+b)^24+b^2] =b-a6[2(a^2+ab+b^2)] =(b-a)(a^2+ab+b^2)3 =b^3-a^33
Para f(x)=x^3:
integrala^bx^3,dx=b^4-a^44,
QS(x^3)=b-a6l[a^3+4m^3+b^3r] =b-a6l[a^3+4tfrac(a+b)^38+b^3r] =b-a6cdottfrac32(a^3+a^2b+ab^2+b^3) =(b-a)(a^3+a^2b+ab^2+b^3)4 =b^4-a^44
Assim, é exata para k=2 e k=3.

Passo 5

Por fim, testamos f(x)=x^4:
integrala^bx^4,dx=b^5-a^55,
QS(x^4)=b-a6l[a^4+4m^4+b^4r] =b-a6l[a^4+4tfrac(a+b)^416+b^4r] =(b-a)(5a^4+4a^3b+6a^2b^2+4ab^3+5b^4)24,
que não coincide em geral com tfracb^5-a^55. Logo, a fórmula falha em k=4 e o grau de precisão é 3.

Resposta

3

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