Problema 18. Mostrar que
a fórmula de quadratura de Simpson
tem grau de precisão algébrica três.
a fórmula de quadratura de Simpson
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a regra de quadratura de Simpson
tem grau de precisão algébrica 3. Vamos testar a exatidão dessa fórmula para monômios f(x)=x^k.
Passo 2
Primeiro, lembramos que o grau de precisão algébrica de uma fórmula Q é o maior inteiro p tal que Q é exata para todos os monômios x^k com k=0,1,\dots,p, e falha em k=p+1.
Passo 3
Testamos f(x)=1 e f(x)=x.
Para f(x)=1:
Para f(x)=x, seja m=\tfrac{a+b}{2}:
Portanto, é exata para k=0 e k=1.
Passo 4
Testamos f(x)=x^2 e f(x)=x^3.
Para f(x)=x^2:
Para f(x)=x^3:
Assim, é exata para k=2 e k=3.
Passo 5
Por fim, testamos f(x)=x^4:
que não coincide em geral com
. Logo, a fórmula falha em k=4 e o grau de precisão é 3.
Resposta
3