Problema 21. Determinar as constantes a e c, de modo que a fórmula de quadratura
integral-h^h f(x) d x approx c[f(a h)+f(b h)]
tenha o maior grau de precisão algébrica.

Passo 1

A ideia é aproximar integral-h^hf(x),dx por uma soma de dois pontos simétricos em torno de zero, isto é, usar Q(f)=c[f(a h)+f(-a h)]. Vamos escolher a e c de modo que a quadratura seja exata para polinômios de grau até o máximo possível.

Passo 2

Para decidir c, impomos exatidão para f(x)=1 e f(x)=x.
Para f(x)=1 temos
integral-h^h1,dx = 2h
Já a fórmula dá
Q(1)=c[1+1]=2c
Logo 2c=2h e assim
c = h
Para f(x)=x a integral é zero e nossa fórmula também dá zero, confirmando que c=h não atrapalha o termo linear.

Passo 3

Agora impomos exatidão para f(x)=x^2.
A integral real é
integral-h^hx^2,dx = 2h^33
A quadratura dá
Q(x^2)=h[(a h)^2+(-a h)^2]=2h,a^2h^2=2a^2h^3
Igualando
2a^2h^3=2h^33Rightarrow a^2=13Rightarrow a=1raiz3

Passo 4

Para verificar o grau de precisão, note que para f(x)=x^3 a integral e a fórmula dão zero (pois os termos são ímpares e os nós são simétricos). Para f(x)=x^4 falha a exatidão, então o grau de precisão algébrica máximo é 3.

Resposta

a = 1/\sqrt{3}, \quad c = h

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