Problema 21. Determinar as constantes a e c, de modo que a fórmula de quadratura
tenha o maior grau de precisão algébrica.
Passo 1
A ideia é aproximar
por uma soma de dois pontos simétricos em torno de zero, isto é, usar
. Vamos escolher
e
de modo que a quadratura seja exata para polinômios de grau até o máximo possível.
Passo 2
Para decidir
, impomos exatidão para
e
.
Para temos
Para
Já a fórmula dá
Logo
e assim
Para
a integral é zero e nossa fórmula também dá zero, confirmando que
não atrapalha o termo linear.
Passo 3
Agora impomos exatidão para
.
A integral real é
A integral real é
A quadratura dá
Igualando
Passo 4
Para verificar o grau de precisão, note que para
a integral e a fórmula dão zero (pois os termos são ímpares e os nós são simétricos). Para
falha a exatidão, então o grau de precisão algébrica máximo é 3.
Resposta
a = 1/\sqrt{3}, \quad c = h