Problema 20. Construir a fórmula de quadratura da forma
integral0^2 h f(x) d x approx h[A f(0)+B f(h)+C f(2 h)]
com o maior possível grau de precisão algébrica.

Passo 1

A proposta é aproximar a integral integral0^2hf(x),dx por uma combinação de valores de f em 0, h e 2h:
integral0^2hf(x),dxapprox hl[A f(0)+B f(h)+C f(2h)r]
Queremos escolher A,B,C de modo que essa quadratura seja exata para monômios x^k até o maior k possível (grau de precisão algébrica).

Passo 2

Para fazer isso usamos o método dos momentos: impomos que a fórmula reproduza exatamente
integral0^2hx^k,dx para k=0,1,2. Isso gera três equações lineares em A,B,C.

Passo 3

Montamos as equações de momento em bloco:
integral0^2h1,dx=2h=hl(A+B+Cr)implies A+B+C=2,
integral0^2hx,dx=(2h)^22=2h^2=hl(B,h+C,2hr)implies B+2C=2,
integral0^2hx^2,dx=(2h)^33=8h^33=hl(B,h^2+C,(2h)^2r)implies B+4C=tfrac83

Passo 4

Resolvendo o sistema
B+2C=2, B+4C=tfrac83,
subtraindo a primeira da segunda obtemos 2C=tfrac23 e, daí, C=tfrac13. Logo B=2-2C=tfrac43. Finalmente, de A+B+C=2 vem A=2-tfrac43-tfrac13=tfrac13.

Passo 5

Para verificar o grau de precisão, conferimos k=3:
integral0^2hx^3,dx=(2h)^44=4h^4
aprox = hl(B,h^3+C,(2h)^3r)=h^4(B+8C)=h^4l(tfrac43+8cdottfrac13r)=4h^4
Funciona para k=3, mas falha em k=4, então o grau de precisão é 3.

Resposta

integral0^2hf(x),dxapprox hl(tfrac13f(0)+tfrac43f(h)+tfrac13f(2h)r), com grau de precisão algébrica igual a 3.

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