Problema 20. Construir a fórmula de quadratura da forma
com o maior possível grau de precisão algébrica.
Passo 1
A proposta é aproximar a integral
por uma combinação de valores de
em
,
e
:
Queremos escolher
de modo que essa quadratura seja exata para monômios
até o maior
possível (grau de precisão algébrica).
Passo 2
Para fazer isso usamos o método dos momentos: impomos que a fórmula reproduza exatamente
para
. Isso gera três equações lineares em
.
Passo 3
Montamos as equações de momento em bloco:
Passo 4
Resolvendo o sistema
subtraindo a primeira da segunda obtemos
e, daí,
. Logo
. Finalmente, de
vem
.
Passo 5
Para verificar o grau de precisão, conferimos
:
Funciona para
, mas falha em
, então o grau de precisão é 3.