Problema 22. Determinar a, b, c, d e A de modo que a fórmula de quadratura
integral-2^2 f(x) d x approx A[f(a)+f(b)+f(c)+f(d)]
tenha o maior grau de precisão algébrica.

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos achar os nós e o peso A de uma fórmula de quadratura da forma
integral-2^2f(x),dxapprox Al[f(a)+f(b)+f(c)+f(d)r],
de modo que ela tenha o maior grau de precisão algébrica. O conteúdo envolve condições de exatidão para polinômios e uso de equações dos momentos.

Passo 2

Para garantir precisão algébrica de grau m, exigimos que a fórmula seja exata para todo polinômio de grau <= m. Isso gera as equações dos momentos: igualamos
k=0,1,dots
às somas
,
para até o grau máximo possível.

Passo 3

A condição para k=0 é
integral-2^21,dx=4=Al[1+1+1+1r]=4A,
portanto A=1.

Passo 4

Como o intervalo é simétrico e queremos anular os momentos ímpares, assumimos os nós em pares simétricos:
alpha,beta>0
com . Isso garante exatidão automática para graus ímpares.

Passo 5

Impondo as condições para k=2 e k=4:
Para k=2:
integral-2^2x^2,dx=163=2(alpha^2+beta^2),
logo alpha^2+beta^2=tfrac83.
Para k=4:
integral-2^2x^4,dx=645=2(alpha^4+beta^4),
logo alpha^4+beta^4=tfrac325.

Passo 6

Definindo u=alpha^2+beta^2=tfrac83 e v=alpha^2beta^2, usamos
alpha^4+beta^4=u^2-2v=tfrac325
para achar v. Daí
u^2-2v=tfrac325Longrightarrow v=tfrac1645

Passo 7

Com u=tfrac83 e v=tfrac1645, os valores alpha^2 e beta^2 são raízes de
t^2-u,t+v=t^2-83t+1645=0
As soluções são
t=20pm8raiz515
Portanto
alpha=raiztfrac20+8raiz515 e
beta=raiztfrac20-8raiz515.

Resposta

A=1; os nós são
a=-raiztfrac20+8raiz515, b=-raiztfrac20-8raiz515, c=raiztfrac20-8raiz515, d=raiztfrac20+8raiz515.

Exercícios relacionados