Problema 22. Determinar
de modo que a fórmula de quadratura
tenha o maior grau de precisão algébrica.
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos achar os nós e o peso A de uma fórmula de quadratura da forma
de modo que ela tenha o maior grau de precisão algébrica. O conteúdo envolve condições de exatidão para polinômios e uso de equações dos momentos.
Passo 2
Para garantir precisão algébrica de grau m, exigimos que a fórmula seja exata para todo polinômio de grau
. Isso gera as equações dos momentos: igualamos
às somas
,
para até o grau máximo possível.
às somas
para
Passo 3
A condição para
é
portanto
.
Passo 4
Como o intervalo é simétrico e queremos anular os momentos ímpares, assumimos os nós em pares simétricos:
com . Isso garante exatidão automática para graus ímpares.
com
Passo 5
Impondo as condições para
e
:
Para :
Para
logo
.
Para :
Para
logo
.
Passo 6
Definindo
e
, usamos
para achar
. Daí
Passo 7
Com
e
, os valores
e
são raízes de
As soluções são
Portanto
e
.
Resposta
A=1; os nós são
.