Problema 23. Determinar
de modo que a fórmula de quadratura
tenha o maior possível grau de precisão algébrica.
Passo 1
Estamos com a fórmula de quadratura
O conteúdo aqui é grau de precisão algébrica de fórmulas de quadratura que envolvem valores de função e derivadas nos extremos. Para resolver, vamos usar correspondência de momentos, exigindo exatidão para polinômios até o maior grau possível.
Passo 2
Para garantir exatidão para polinômios de grau até 4 (temos 5 incógnitas: A, B, C, D, E), impomos condições para
. Calculamos as integrais exatas e igualamos à fórmula aproximada:
Para
:
Para
(
,
):
Para
(
,
):
Para
(
,
):
Para
(
,
):
Passo 3
Resolvendo o sistema para
usando as três últimas equações:
Subtraindo as equações para grau 2 e 3:
Subtraindo as equações para grau 3 e 4:
Resolvendo:
Passo 4
Agora usamos
na equação de grau 1 para achar
, e depois a de grau 0 para
:
Da equação
vem
Da equação
vem
Passo 5
Portanto a fórmula alcança grau de precisão algébrica 4 e os coeficientes são como segue.
Resposta
A=\tfrac{7}{15},\quad B=\tfrac{16}{15},\quad C=\tfrac{7}{15},\quad D=\tfrac{1}{15},\quad E=-\tfrac{1}{15}. O grau de precisão algébrica é 4.