Problema 23. Determinar A, B, C, D e E de modo que a fórmula de quadratura
integral0^2 h f(x) d x approx h[A f(0)+B f(h)+C f(2 h)]+h^2[D f^prime(0)+E f^prime(2 h)]
tenha o maior possível grau de precisão algébrica.

Passo 1

Estamos com a fórmula de quadratura
integral0^2hf(x),dxapprox hl[Af(0)+Bf(h)+Cf(2h)r]+h^2l[D f'(0)+E f'(2h)r]
O conteúdo aqui é grau de precisão algébrica de fórmulas de quadratura que envolvem valores de função e derivadas nos extremos. Para resolver, vamos usar correspondência de momentos, exigindo exatidão para polinômios até o maior grau possível.

Passo 2

Para garantir exatidão para polinômios de grau até 4 (temos 5 incógnitas: A, B, C, D, E), impomos condições para f(x)=1,x,x^2,x^3,x^4. Calculamos as integrais exatas e igualamos à fórmula aproximada:
Para f(x)=1:
integral0^2h1,dx=2happrox h(A+B+C)implies A+B+C=2
Para f(x)=x ( f'(0)=1, f'(2h)=1 ):
integral0^2hx,dx=2h^2approx h(B,h+2C,h)+h^2(D+E)implies B+2C+D+E=2
Para f(x)=x^2 ( f'(0)=0, f'(2h)=4h ):
integral0^2hx^2,dx=8h^33approx h(B,h^2+4C,h^2)+h^2(4E,h)implies B+4C+4E=tfrac83
Para f(x)=x^3 ( f'(0)=0, f'(2h)=12h^2 ):
integral0^2hx^3,dx=4h^4approx h(B,h^3+8C,h^3)+h^2(12E,h^2)implies B+8C+12E=4
Para f(x)=x^4 ( f'(0)=0, f'(2h)=32h^3 ):
integral0^2hx^4,dx=32h^55approx h(B,h^4+16C,h^4)+h^2(32E,h^3)implies B+16C+32E=tfrac325

Passo 3

Resolvendo o sistema para B,C,E usando as três últimas equações:
Subtraindo as equações para grau 2 e 3:
(B+8C+12E)-(B+4C+4E)=tfrac43implies 4C+8E=tfrac43implies C+2E=tfrac13
Subtraindo as equações para grau 3 e 4:
(B+16C+32E)-(B+8C+12E)=tfrac125implies 8C+20E=tfrac125implies 2C+5E=tfrac35
Resolvendo:
E= -tfrac115, C=tfrac715, B=tfrac1615

Passo 4

Agora usamos B,C,E na equação de grau 1 para achar D, e depois a de grau 0 para A:
Da equação B+2C+D+E=2 vem
D=2-(B+2C+E)=2-tfrac2915=tfrac115
Da equação A+B+C=2 vem
A=2-(B+C)=2-tfrac2315=tfrac715

Passo 5

Portanto a fórmula alcança grau de precisão algébrica 4 e os coeficientes são como segue.

Resposta

A=\tfrac{7}{15},\quad B=\tfrac{16}{15},\quad C=\tfrac{7}{15},\quad D=\tfrac{1}{15},\quad E=-\tfrac{1}{15}. O grau de precisão algébrica é 4.

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