Problema 24. Determinar
e
, de modo que a fórmula de quadratura
tenha o maior possível grau de precisão algébrica.
Passo 1
O enunciado define uma regra de quadratura
dada por
dada por
e quer o maior grau de precisão algébrica possível (i.e. exatidão para polinômios f(x)=x^{k} até o maior k possível).
Passo 2
Para f(x)=1 (k=0) calculamos a integral exata
Impondo exatidão da regra: A\cdot1 + B\cdot1 = A + B = \arctan(h).
Passo 3
Para f(x)=x (k=1) temos
A condição de exatidão é A\cdot0 + B\cdot h = B,h = \tfrac{1}{2}\ln(1+h^{2}),
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Passo 4
Substituindo B em A+B=\arctan(h) obtemos
Passo 5
Tentar k=2 leva a duas expressões incompatíveis para B, então não há como ser exato para k\ge2 em geral. O grau de precisão algébrica máximo é 1.
Resposta
A=\displaystyle\arctan(h)-\frac{1}{2h}\ln\bigl(1+h^{2}\bigr),\quad B=\displaystyle\frac{1}{2h}\ln\bigl(1+h^{2}\bigr) (grau de precisão,=1)