Problema 24. Determinar A e B, de modo que a fórmula de quadratura
integralo^h f(x)1+x^2 d x approx A f(0)+B f(h)
tenha o maior possível grau de precisão algébrica.

Passo 1

O enunciado define uma regra de quadratura
dada por
integral0^hf(x)1+x^2,dxapprox A,f(0)+B,f(h)
e quer o maior grau de precisão algébrica possível (i.e. exatidão para polinômios f(x)=x^{k} até o maior k possível).

Passo 2

Para f(x)=1 (k=0) calculamos a integral exata
I0=integral0^h11+x^2,dx=arctan(h)
Impondo exatidão da regra: A\cdot1 + B\cdot1 = A + B = \arctan(h).

Passo 3

Para f(x)=x (k=1) temos
I1=integral0^hx1+x^2,dx=12lnl(1+h^2r)
A condição de exatidão é A\cdot0 + B\cdot h = B,h = \tfrac{1}{2}\ln(1+h^{2}),
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B=12hlnl(1+h^2r)

Passo 4

Substituindo B em A+B=\arctan(h) obtemos
A=arctan(h)-B=arctan(h)-12hlnl(1+h^2r)

Passo 5

Tentar k=2 leva a duas expressões incompatíveis para B, então não há como ser exato para k\ge2 em geral. O grau de precisão algébrica máximo é 1.

Resposta

A=\displaystyle\arctan(h)-\frac{1}{2h}\ln\bigl(1+h^{2}\bigr),\quad B=\displaystyle\frac{1}{2h}\ln\bigl(1+h^{2}\bigr) (grau de precisão,=1)

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