Problema 25. Detreminar os coeficientes
, de modo que
possua o maior possível grau de precisão algébrica.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os coeficientes
,
, de uma fórmula de quadratura que envolve valores de
e de
nos pontos
, de modo a obter o maior grau de precisão algébrica possível. Vamos usar o método dos coeficientes não determinados (momentos) e, para simplificar, faremos a mudança de variável
, reduzindo o intervalo a
e definindo
.
Passo 2
Sob a mudança de variável
, temos<br>
e a regra se transforma em<br>
Passo 3
Para impor exatidão algébrica até grau
, fazemos
,
, e igualamos<br>
Escrevendo as seis equações para
, obtemos um sistema linear de 6 incógnitas.
Passo 4
Analisando as equações para
e
, percebemos que para não termos contradição devemos ter simetria:<br>
Além disso delas segue
, confirmando
.
Passo 5
Substituindo
e
nas equações de grau 2 e 4, ficamos com<br>
Resolvendo esse par, achamos<br>
e portanto
,
.
Passo 6
Finalmente, das equações para
e
encontramos<br>
Verificamos que a regra é exata para polinômios de grau até 5, ou seja, grau de precisão algébrica igual a 5.
Resposta
a_1 = a_3 = \frac{7}{15}, \quad a_2 = \frac{16}{15}, \quad b_1 = \frac{1}{15}, \quad b_2 = 0, \quad b_3 = -\frac{1}{15} (grau de precisão = 5).