Problema 25. Detreminar os coeficientes ai, bi, i=1,2,3, de modo que
possua o maior possível grau de precisão algébrica.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os coeficientes ai, bi, i=1,2,3, de uma fórmula de quadratura que envolve valores de f e de f' nos pontos -h,0,h, de modo a obter o maior grau de precisão algébrica possível. Vamos usar o método dos coeficientes não determinados (momentos) e, para simplificar, faremos a mudança de variável x=ht, reduzindo o intervalo a [-1,1] e definindo g(t)=f(ht).

Passo 2

Sob a mudança de variável x=ht, temos<br> integral-h^hf(x),dx = hintegral-1^1 g(t),dte a regra se transforma em<br> integral-1^1g(t),dt = a1g(-1)+a2g(0)+a3g(1)+b1g'(-1)+b2g'(0)+b3g'(1)

Passo 3

Para impor exatidão algébrica até grau 5, fazemos g(t)=t^k, k=0,1,2,3,4,5, e igualamos<br> integral-1^1t^k,dt = a1(-1)^k + a2 0^k + a3(1)^k + b1 k(-1)^k-1 + b2 k0^k-1 + b3 k1^k-1Escrevendo as seis equações para k=0,1,2,3,4,5, obtemos um sistema linear de 6 incógnitas.

Passo 4

Analisando as equações para k=3 e k=5, percebemos que para não termos contradição devemos ter simetria:<br> a3=a1, b3=-b1Além disso delas segue -a1+a3=0, confirmando a3=a1.

Passo 5

Substituindo a3=a1 e b3=-b1 nas equações de grau 2 e 4, ficamos com<br> 2a1 -4b1 = tfrac23, 2a1 -8b1 = tfrac25Resolvendo esse par, achamos<br> b1=tfrac115, a1=tfrac715,e portanto a3=7/15, b3=-1/15.

Passo 6

Finalmente, das equações para k=0 e k=1 encontramos<br> a2=tfrac1615, b2=0Verificamos que a regra é exata para polinômios de grau até 5, ou seja, grau de precisão algébrica igual a 5.

Resposta

a_1 = a_3 = \frac{7}{15}, \quad a_2 = \frac{16}{15}, \quad b_1 = \frac{1}{15}, \quad b_2 = 0, \quad b_3 = -\frac{1}{15} (grau de precisão = 5).

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