Problema 26. Mostrar que a fórmula de quadratura
é exata para todos os polinômios de grau três.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a regra de quadratura
é exata para todo polinômio de grau até 3. Isso envolve o conteúdo de regras de quadratura e exatidão de fórmulas integrais: pela linearidade da integral, basta testar a regra nos polinômios-base 1, x, x² e x³.
Passo 2
Para polinômios de grau 0 e 1, isto é, f(x)=1 e f(x)=x, calculamos:
Para f(x)=1:
Para f(x)=1:
aproximação:
Para f(x)=x:
aproximação:
Em ambos os casos bate certinho.
Passo 3
Agora f(x)=x². Temos f(0)=0, f(h)=h², f’’(x)=2, logo f’’(0)=f’’(h)=2.
Cálculo exato:
Cálculo exato:
Aproximação:
Passo 4
Agora f(x)=x³. Aqui f(0)=0, f(h)=h³, f’’(x)=6x, então f’’(0)=0, f’’(h)=6h.
Cálculo exato:
Cálculo exato:
Aproximação:
Passo 5
Como a regra coincide com a integral exata em f(x)=1, x, x² e x³, por linearidade ela é exata para todo polinômio de grau até 3.
Resposta
A fórmula é exata para todos os polinômios de grau até 3.