Problema 26. Mostrar que a fórmula de quadratura
integral0^h f(x) d x approx h2[f(0)+f(h)]-h^324[f^prime prime(0)+f^prime prime(h)]
é exata para todos os polinômios de grau três.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a regra de quadratura
integral0^hf(x),dxapproxh2[f(0)+f(h)]-h^324[f''(0)+f''(h)]
é exata para todo polinômio de grau até 3. Isso envolve o conteúdo de regras de quadratura e exatidão de fórmulas integrais: pela linearidade da integral, basta testar a regra nos polinômios-base 1, x, x² e x³.

Passo 2

Para polinômios de grau 0 e 1, isto é, f(x)=1 e f(x)=x, calculamos:
Para f(x)=1:
integral0^h1,dx=h
aproximação:
h2[1+1]-h^324[0+0]=h
Para f(x)=x:
integral0^h x,dx=h^22
aproximação:
h2[0+h]-h^324[0+0]=h^22
Em ambos os casos bate certinho.

Passo 3

Agora f(x)=x². Temos f(0)=0, f(h)=h², f’’(x)=2, logo f’’(0)=f’’(h)=2.
Cálculo exato:
integral0^h x^2,dx=h^33
Aproximação:
h2[0+h^2]-h^324[2+2] =h^32-4h^324=h^32-h^36=h^33

Passo 4

Agora f(x)=x³. Aqui f(0)=0, f(h)=h³, f’’(x)=6x, então f’’(0)=0, f’’(h)=6h.
Cálculo exato:
integral0^h x^3,dx=h^44
Aproximação:
h2[0+h^3]-h^324[0+6h] =h^42-6h^424=h^42-h^44=h^44

Passo 5

Como a regra coincide com a integral exata em f(x)=1, x, x² e x³, por linearidade ela é exata para todo polinômio de grau até 3.

Resposta

A fórmula é exata para todos os polinômios de grau até 3.

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