Problema 48. Se f in C^2[0,1], prove que existe um ponto xi in[0,1], tal que
integral0^1 f(x) d x-12[f(1 / 4)+f(3 / 4)]=f(xi)96

Passo 1

A questão pede para mostrar que, dado fin C^2[0,1], existe xiin[0,1] tal que
integral0^1 f(x),dx - tfrac12l(f(tfrac14)+f(tfrac34)r) = f''(xi)96
O conteúdo é o erro de interpolação linear aplicado a f, e vamos precisar do polinômio de Lagrange de grau 1 em x=1/4 e x=3/4, mais o teorema do resto de Taylor e o teorema do valor médio para integrais.

Passo 2

Vamos construir o polinômio p(x) de grau 1 que interpola f em x1=1/4 e x2=3/4. Por definição,
p(tfrac14)=f(tfrac14), p(tfrac34)=f(tfrac34)
Como p é linear, tem-se
integral0^1 p(x),dx = p(1/4)+p(3/4)2 = f(1/4)+f(3/4)2

Passo 3

Para cada xin[0,1], o resto de interpolação de Taylor em grau 1 diz que existe etax entre 1/4 e 3/4 tal que
f(x)-p(x)=f''(etax)2,(x-tfrac14)(x-tfrac34)
Logo,
integral0^1l(f(x)-p(x)r)dx = integral0^1 f''(etax)2,(x-tfrac14)(x-tfrac34),dx

Passo 4

Como integral0^1p(x)dx=tfrac12[f(1/4)+f(3/4)], juntamos:
integral0^1f(x)dx - tfrac12l(f(tfrac14)+f(tfrac34)r) = integral0^1f''(etax)2,(x-tfrac14)(x-tfrac34),dx

Passo 5

A função xmapsto f''(etax) é contínua em [0,1]. Pelo teorema do valor médio para integrais, existe xiin[0,1] tal que
integral0^1 f''(etax),(x-tfrac14)(x-tfrac34),dx = f''(xi)integral0^1 (x-tfrac14)(x-tfrac34),dx

Passo 6

Bastando calcular
integral0^1(x-tfrac14)(x-tfrac34)dx = integral0^1l(x^2 - x + tfrac316r)dx = 13 - 12 + 316 = 148
Portanto
integral0^1l(f(x)-p(x)r)dx = f''(xi)2cdot148 = f''(xi)96

Resposta

Existe xiin[0,1] tal que
integral0^1 f(x),dx - tfrac12l(f(tfrac14)+f(tfrac34)r) = f''(xi)96

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