Problema 48. Se
, prove que existe um ponto
, tal que
Passo 1
A questão pede para mostrar que, dado
, existe
tal que
O conteúdo é o erro de interpolação linear aplicado a
, e vamos precisar do polinômio de Lagrange de grau 1 em
e
, mais o teorema do resto de Taylor e o teorema do valor médio para integrais.
Passo 2
Vamos construir o polinômio
de grau 1 que interpola
em
e
. Por definição,
Como
é linear, tem-se
Passo 3
Para cada
, o resto de interpolação de Taylor em grau 1 diz que existe
entre
e
tal que
Logo,
Passo 4
Como
, juntamos:
Passo 5
A função
é contínua em
. Pelo teorema do valor médio para integrais, existe
tal que
Passo 6
Bastando calcular
Portanto
Resposta
Existe
tal que