Problema 38. Seja
integral0^1 f(x) d x approx sumk=1^n ak f(xk):=Q(f)
uma fórmula de quadratura com grau de precisão algébrica m-1 >= 1. Se o núcleo de Peano do seu erro Kr(Q ; t), 1 <= r <= m possui um zero tau in(0,1), prove que esta fórmula é exata para a função f(x)=(x-tau)+^r-1.
Prove a seguinte afirmação mais geral: Se tau in(0,1) é um zero com multiplicidade s de Kr(Q ; t), onde 1 <= s <= r-1, a fórmula de quadratura Q(f) é exata para as funções
(x-tau)+^r-1,(x-tau)+^r-2, ldots,(x-tau)+^r-s

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar que, se uma fórmula de quadratura Q em [0,1] tem grau de precisão algébrica ≥m−1 e o seu núcleo de Peano K_r(Q;t) apresenta um zero τ∈(0,1), então Q é exata para f(x)=(x−τ)+^{r−1}. Mais ainda, se τ é zero de multiplicidade s de K_r, então Q é exata para (x−τ)+{r−1},…,(x−τ)_+{r−s}. Vamos usar a definição do núcleo de Peano e suas propriedades de derivação.

Passo 2

Pela definição de núcleo de Peano temos, para cada t em [0,1],
Kr(Q;t)=integral0^1(x-t)+^r-1,dx-sumk=1^n ak,(xk-t)+^r-1,,,
mas o erro de Q aplicado à função φ_t(x)=(x-t)_+^{r-1} é exatamente E(φ_t)=K_r(Q;t). Ou seja,
El((x-t)+^r-1r)=integral0^1(x-t)+^r-1,dx-sumk=1^n ak,(xk-t)+^r-1=Kr(Q;t)

Passo 3

Se em particular K_r(Q;τ)=0, então E((x-τ)+^{r-1})=0, o que quer dizer que Q é exata para f(x)=(x-τ)+^{r−1}.

Passo 4

Agora, se τ é zero de multiplicidade s de K_r, significa que as derivadas até a ordem s−1 também se anulam em τ. Como
d^jdt^jKr(Q;t)=(-1)^j(r-1)!(r-1-j)!,Kr-j(Q;t)(1<= j<= r-1),,
vemos que para todo j=0,1,…,s−1 vale K_{r-j}(Q;τ)=0. Mas cada um desses núcleos K_{r-j} é o erro de Q aplicado a (x-τ)+^{r-1-j}.
Logo E((x-τ)
+^{r-1-j})=K_{r-j}(Q;τ)=0 para j=0,1,…,s−1, isto é, Q é exata para
(x-τ)+^r-1,,(x-τ)+^r-2,;;,(x-τ)+^r-s

Resposta

A fórmula de quadratura Q é exata para as funções (x-τ)+^{r-1}, (x-τ)+^{r-2}, …, (x-τ)_+^{r-s}.

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