Problema 38. Seja
uma fórmula de quadratura com grau de precisão algébrica
. Se o núcleo de Peano do seu erro
possui um zero
, prove que esta fórmula é exata para a função
.
Prove a seguinte afirmação mais geral: Se
é um zero com multiplicidade
de
, onde
, a fórmula de quadratura
é exata para as funções
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar que, se uma fórmula de quadratura Q em [0,1] tem grau de precisão algébrica ≥m−1 e o seu núcleo de Peano K_r(Q;t) apresenta um zero τ∈(0,1), então Q é exata para f(x)=(x−τ)+^{r−1}. Mais ainda, se τ é zero de multiplicidade s de K_r, então Q é exata para (x−τ)+{r−1},…,(x−τ)_+{r−s}. Vamos usar a definição do núcleo de Peano e suas propriedades de derivação.
Passo 2
Pela definição de núcleo de Peano temos, para cada t em [0,1],
mas o erro de Q aplicado à função φ_t(x)=(x-t)_+^{r-1} é exatamente E(φ_t)=K_r(Q;t). Ou seja,
Passo 3
Se em particular K_r(Q;τ)=0, então E((x-τ)+^{r-1})=0, o que quer dizer que Q é exata para f(x)=(x-τ)+^{r−1}.
Passo 4
Agora, se τ é zero de multiplicidade s de K_r, significa que as derivadas até a ordem s−1 também se anulam em τ. Como
vemos que para todo j=0,1,…,s−1 vale K_{r-j}(Q;τ)=0. Mas cada um desses núcleos K_{r-j} é o erro de Q aplicado a (x-τ)+^{r-1-j}.
Logo E((x-τ)+^{r-1-j})=K_{r-j}(Q;τ)=0 para j=0,1,…,s−1, isto é, Q é exata para
Logo E((x-τ)+^{r-1-j})=K_{r-j}(Q;τ)=0 para j=0,1,…,s−1, isto é, Q é exata para
Resposta
A fórmula de quadratura Q é exata para as funções (x-τ)+^{r-1}, (x-τ)+^{r-2}, …, (x-τ)_+^{r-s}.