Problema 39. Calcular os erros das fórmulas de quadratura do ponto médio, do trapézio e de Simpson, para o espaço Winfty^1[a, b]. Quais os erros das correspondentes fórmulas compostas?

Passo 1

O enunciado pede para calcular o erro de aproximação das regras de quadratura do ponto médio, do trapézio e de Simpson num intervalo [a,b], e depois obter as fórmulas compostas. Vamos usar expansão de Taylor das funções até a ordem necessária, explorar o fato de que cada regra é exata até certo grau e expressar o termo de erro via derivadas superiores.

Passo 2

Para o ponto médio, seja m=(a+b)/2. Expandimos f em Taylor ao redor de m até a segunda ordem:
f(x)=f(m)+f'(m)(x-m)+tfrac12f''(ξx)(x-m)^2
Integrando de a a b e subtraindo (b-a)f(m) obtemos
Erm mid=integrala^b f(x),dx-(b-a)f(m)=-(b-a)^324f''(xi)
Isso significa
|Erm mid|<=(b-a)^324|f''|infty

Passo 3

Para a regra do trapézio, expandimos f em Taylor em torno de a e de b até segunda ordem. Ao somar as contribuições dos extremos e comparar com a integral, chega-se a
Erm trap=integrala^b f(x),dx-b-a2l(f(a)+f(b)r)=-(b-a)^312f''(xi),
portanto
|Erm trap|<=(b-a)^312|f''|infty

Passo 4

Para a regra de Simpson, fazemos a expansão de f em Taylor ao redor de a até a quarta ordem e combinamos f(a), f(m) e f(b) segundo os pesos 1–4–1. O termo de erro é de ordem cinco no comprimento do intervalo:
Erm S=integrala^b f(x),dx-b-a6l(f(a)+4f(m)+f(b)r)=-(b-a)^52880f^(4)(eta),
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|Erm S|<=(b-a)^52880|f^(4)|infty

Passo 5

Para obter as fórmulas compostas, dividimos [a,b] em n subintervalos de largura h=(b-a)/n e somamos os erros locais. Como cada erro local tem o mesmo sinal do supremo da derivada correspondente, temos as estimativas:
|Erm mid^rm comp|<= nh^324|f''|infty=(b-a)h^224|f''|infty,
|Erm trap^rm comp|<= nh^312|f''|infty=(b-a)h^212|f''|infty,
|Erm S^rm comp|<= nh^52880|f^(4)|infty=(b-a)h^4180|f^(4)|infty

Resposta

Erros em um único passo:
– Ponto médio:
$$E_{\rm mid}=-\frac{(b-a)^3}{24}f’’(\xi),\quad |E_{\rm mid}|\le\frac{(b-a)^3}{24}|f’’|_{\infty}.
Erm mid=-(b-a)^324f''(xi), |Erm mid|<=(b-a)^324|f''|infty éE_{\rm trap}=-\frac{(b-a)^3}{12}f’’(\xi),\quad |E_{\rm trap}|\le\frac{(b-a)^3}{12}|f’’|_{\infty}.
Erm trap=-(b-a)^312f''(xi), |Erm trap|<=(b-a)^312|f''|infty E_{\rm S}=-\frac{(b-a)5}{2880}f{(4)}(\eta),\quad |E_{\rm S}|\le\frac{(b-a)5}{2880}|f{(4)}|_{\infty}.
$$
Erros das fórmulas compostas (h=(b-a)/n):
– Ponto médio composto:
$$|E_{\rm mid}^{\rm comp}|\le\frac{(b-a)h^2}{24}|f’’|_{\infty}.
Erm S=-(b-a)^52880f^(4)(eta), |Erm S|<=(b-a)^52880|f^(4)|infty é|E_{\rm trap}^{\rm comp}|\le\frac{(b-a)h^2}{12}|f’’|_{\infty}.
|Erm mid^rm comp|<=(b-a)h^224|f''|infty |E_{\rm S}^{\rm comp}|\le\frac{(b-a)h4}{180}|f{(4)}|_{\infty}.
$$

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