Problema 39. Calcular os erros das fórmulas de quadratura do ponto médio, do trapézio e de Simpson, para o espaço
. Quais os erros das correspondentes fórmulas compostas?
Passo 1
O enunciado pede para calcular o erro de aproximação das regras de quadratura do ponto médio, do trapézio e de Simpson num intervalo [a,b], e depois obter as fórmulas compostas. Vamos usar expansão de Taylor das funções até a ordem necessária, explorar o fato de que cada regra é exata até certo grau e expressar o termo de erro via derivadas superiores.
Passo 2
Para o ponto médio, seja m=(a+b)/2. Expandimos f em Taylor ao redor de m até a segunda ordem:
Integrando de a a b e subtraindo (b-a)f(m) obtemos
Isso significa
Passo 3
Para a regra do trapézio, expandimos f em Taylor em torno de a e de b até segunda ordem. Ao somar as contribuições dos extremos e comparar com a integral, chega-se a
portanto
Passo 4
Para a regra de Simpson, fazemos a expansão de f em Taylor ao redor de a até a quarta ordem e combinamos f(a), f(m) e f(b) segundo os pesos 1–4–1. O termo de erro é de ordem cinco no comprimento do intervalo:
logo
Passo 5
Para obter as fórmulas compostas, dividimos [a,b] em n subintervalos de largura h=(b-a)/n e somamos os erros locais. Como cada erro local tem o mesmo sinal do supremo da derivada correspondente, temos as estimativas:
Resposta
Erros em um único passo:
– Ponto médio:
$$E_{\rm mid}=-\frac{(b-a)^3}{24}f’’(\xi),\quad |E_{\rm mid}|\le\frac{(b-a)^3}{24}|f’’|_{\infty}.
$$
Erros das fórmulas compostas (h=(b-a)/n):
– Ponto médio composto:
$$|E_{\rm mid}^{\rm comp}|\le\frac{(b-a)h^2}{24}|f’’|_{\infty}.
$$