Problema 40. Calcular os erros das fórmulas de quadratura do ponto médio, do trapézio e de Simpson, para o espaço Winfty^2[a, b]. Quais os erros das correspondentes fórmulas compostas?

Passo 1

Vamos resumir o enunciado: temos f∈W_{∞}^2[a,b], ou seja f’’ é contínua e |f''|∞<∞. Queremos estimar o erro das fórmulas de quadratura do ponto médio, trapézio e Simpson — tanto na versão simples (um subintervalo) quanto na versão composta (n subintervalos de comprimento h).

Passo 2

Para a regra do ponto médio usamos a expansão de Taylor de ordem 2 em torno de c= (a+b)/2:
f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+tfrac12f''(ξ)(x-c)^2,
integrando de a a b e lembrando que integrala^b(x-c),dx=0, obtemos
integrala^b f(x),dx=(b-a)f(c)+f''(ξ)(b-a)^324
Logo o erro da regra do ponto médio é

Passo 3

Como f'' é limitada em norma infinita, temos
|EM(f)|<=(b-a)^324|f''|∞

Passo 4

Para a regra do trapézio usamos Taylor em a e b ou a fórmula de Newton–Cotes de grau 1, chegando a
ET(f)=integrala^b f(x),dx-b-a2l(f(a)+f(b)r)=-f''(ξ)(b-a)^312,
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|ET(f)|<=(b-a)^312|f''|∞

Passo 5

A regra de Simpson simples sai como combinação linear:
ES(f)=integrala^b f(x),dx-b-a6l(f(a)+4f(c)+f(b)r)=4EM(f)-ET(f)3
Das estimativas anteriores decorre
|ES(f)|<=(b-a)^312|f''|∞

Passo 6

Para as fórmulas compostas dividimos [a,b] em n subintervalos de tamanho h=(b-a)/n e somamos os erros locais. Assim
|EM^(n)(f)|<= nh^324|f''|∞=(b-a)h^224|f''|∞,
|ET^(n)(f)|<= nh^312|f''|∞=(b-a)h^212|f''|∞

Passo 7

A composição de Simpson satisfaz
ES^(n)(f)=4EM^(n)(f)-ET^(n)(f)3,
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|ES^(n)(f)|<=(b-a)h^212|f''|∞

Resposta

Erros nas regras simples:
• Ponto médio: |E_M(f)| ≤ (b-a)^3/24 |f’’|{∞}.
• Trapézio: |E_T(f)| ≤ (b-a)^3/12 |f’’|
{∞}.
• Simpson: |E_S(f)| ≤ (b-a)^3/12 |f’’|_{∞}.
Erros nas regras compostas (h=(b-a)/n):
• Ponto médio composto: |E_M^{(n)}(f)| ≤ (b-a)h^2/24 |f’’|{∞}.
• Trapézio composto: |E_T^{(n)}(f)| ≤ (b-a)h^2/12 |f’’|
{∞}.
• Simpson composto: |E_S^{(n)}(f)| ≤ (b-a)h^2/12 |f’’|_{∞}.

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