Problema 40. Calcular os erros das fórmulas de quadratura do ponto médio, do trapézio e de Simpson, para o espaço
. Quais os erros das correspondentes fórmulas compostas?
Passo 1
Vamos resumir o enunciado: temos f∈W_{∞}^2[a,b], ou seja f’’ é contínua e
. Queremos estimar o erro das fórmulas de quadratura do ponto médio, trapézio e Simpson — tanto na versão simples (um subintervalo) quanto na versão composta (n subintervalos de comprimento h).
Passo 2
Para a regra do ponto médio usamos a expansão de Taylor de ordem 2 em torno de c=
:
integrando de a a b e lembrando que
, obtemos
Logo o erro da regra do ponto médio é
Passo 3
Como
é limitada em norma infinita, temos
Passo 4
Para a regra do trapézio usamos Taylor em a e b ou a fórmula de Newton–Cotes de grau 1, chegando a
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Passo 5
A regra de Simpson simples sai como combinação linear:
Das estimativas anteriores decorre
Passo 6
Para as fórmulas compostas dividimos [a,b] em n subintervalos de tamanho h=(b-a)/n e somamos os erros locais. Assim
Passo 7
A composição de Simpson satisfaz
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Resposta
Erros nas regras simples:
• Ponto médio: |E_M(f)| ≤ |f’’|{∞}.
• Trapézio: |E_T(f)| ≤ |f’’|{∞}.
• Simpson: |E_S(f)| ≤ |f’’|_{∞}.
• Ponto médio: |E_M(f)| ≤
• Trapézio: |E_T(f)| ≤
• Simpson: |E_S(f)| ≤
Erros nas regras compostas (h=(b-a)/n):
• Ponto médio composto: |E_M^{(n)}(f)| ≤ |f’’|{∞}.
• Trapézio composto: |E_T^{(n)}(f)| ≤ |f’’|{∞}.
• Simpson composto: |E_S^{(n)}(f)| ≤ |f’’|_{∞}.
• Ponto médio composto: |E_M^{(n)}(f)| ≤
• Trapézio composto: |E_T^{(n)}(f)| ≤
• Simpson composto: |E_S^{(n)}(f)| ≤