Problema 41. Seja
. Provar que esistem pontos
e
no intervalo
, tais que
Passo 1
Resumo do enunciado: Dada uma função
, queremos mostrar que a regra do ponto médio e a regra do trapézio têm erro dado por termos de ordem
. Mais precisamente, provar que existem
tais que
e
Para isso vamos usar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange e o Teorema do Valor Médio para integrais.
Passo 2
Aplicação da expansão de Taylor no ponto médio. Seja
. Pelo Teorema de Taylor em cada
existe
entre
e
tal que
Integrando de
a
e notando que
obtemos
Como
é contínua, pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe
tal que
e
Logo,
Passo 3
Uso da fórmula de erro da interpolação de Hermite (grau 1) e MVT para integrais. A interpolação linear de
em
é
tendo erro
para algum
. Integrando de
a
vem
Como
e
existe
tal que
Resposta
Existem
tais que
e