Problema 41. Seja f in C^2[a, b]. Provar que esistem pontos xi1 e xi2 no intervalo [a, b], tais que
integrala^b f(x) d x-(b-a) f(a+b2) & =f(xi1)24(b-a)^3 integrala^b f(x) d x-b-a2[f(a)+f(b)] & =-f(xi2)12(b-a)^3

Passo 1

Resumo do enunciado: Dada uma função fin C^2[a,b], queremos mostrar que a regra do ponto médio e a regra do trapézio têm erro dado por termos de ordem (b-a)^3. Mais precisamente, provar que existem xi1,xi2in[a,b] tais que
integrala^b f(x),dx - (b-a),fl(tfraca+b2r) = f''(xi1)24,(b-a)^3
e
integrala^b f(x),dx - b-a2l[f(a)+f(b)r] = -f''(xi2)12,(b-a)^3
Para isso vamos usar o Teorema de Taylor com resto na forma de Lagrange e o Teorema do Valor Médio para integrais.

Passo 2

Aplicação da expansão de Taylor no ponto médio. Seja m=tfraca+b2. Pelo Teorema de Taylor em cada xin[a,b] existe thetax entre m e x tal que
f(x)=f(m)+f'(m)(x-m)+tfrac12f''(thetax)(x-m)^2
Integrando de a a b e notando que
integrala^b(x-m),dx=0,
obtemos
integrala^b f(x),dx - (b-a)f(m) = tfrac12integrala^b f''(thetax)(x-m)^2 ,dx
Como f'' é contínua, pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe xi1in[a,b] tal que
integrala^b f''(thetax)(x-m)^2 ,dx = f''(xi1)integrala^b(x-m)^2 ,dx
e
integrala^b(x-m)^2 ,dx = (b-a)^312
Logo,
integrala^b f(x),dx - (b-a)fl(tfraca+b2r) = f''(xi1)24(b-a)^3

Passo 3

Uso da fórmula de erro da interpolação de Hermite (grau 1) e MVT para integrais. A interpolação linear de f em a,b é
L(x)=f(a)+f(b)-f(a)b-a(x-a),
tendo erro
f(x)-L(x)=(x-a)(x-b)2f''(etax),
para algum etaxin[a,b]. Integrando de a a b vem
integrala^b f(x),dx - integrala^bL(x),dx = integrala^b (x-a)(x-b)2 f''(etax),dx
Como
integrala^bL(x),dx = b-a2l[f(a)+f(b)r]
e
integrala^b(x-a)(x-b)2 ,dx = -(b-a)^312,
existe xi2in[a,b] tal que
integrala^b f(x),dx - b-a2[f(a)+f(b)] = -f''(xi2)12(b-a)^3

Resposta

Existem xi1,xi2in[a,b] tais que
integrala^b f(x),dx - (b-a)fl(tfraca+b2r) = f''(xi1)24(b-a)^3,
e
integrala^b f(x),dx - b-a2l[f(a)+f(b)r] = -f''(xi2)12(b-a)^3

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