Problema 42. Provar que, se
é uma função convexa em
, então
Passo 1
Neste exercício vamos provar que, se f(x) é convexa em [a,b], então Q_P(f) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ Q_T(f). O conteúdo envolve convexidade e fórmulas de quadratura (regra do ponto médio e regra dos trapézios), e vamos usar a definição de convexidade e propriedades de integrais.
Passo 2
Considere uma partição P = {a = x_0 < x_1 < ⋯ < x_n = b} e defina para cada subintervalo [x_{i-1}, x_i] o ponto médio m_i =
e Δx_i = x_i - x_{i-1}. Pela desigualdade de Jensen para medida uniforme em [x_{i-1}, x_i], temos
Multiplicando ambos os lados por Δx_i segue
Passo 3
Por outro lado, pela convexidade o gráfico de f fica abaixo da reta secante que liga (x_{i-1},f(x_{i-1})) e (x_i,f(x_i)). Assim, para t∈[x_{i-1},x_i],
Integrando de x_{i-1} a x_i e simplificando, obtemos
Passo 4
Somando as desigualdades obtidas para i=1,…,n, resultam
e
Resposta
Q_P(f) ≤ \displaystyle \int_a^b f(x),dx ≤ Q_T(f).