Problema 42. Provar que, se f(x) é uma função convexa em [a, b], então
QP(f) <= integrala^b f(x) d x <= QT(f)

Passo 1

Neste exercício vamos provar que, se f(x) é convexa em [a,b], então Q_P(f) ≤ ∫_a^b f(x) dx ≤ Q_T(f). O conteúdo envolve convexidade e fórmulas de quadratura (regra do ponto médio e regra dos trapézios), e vamos usar a definição de convexidade e propriedades de integrais.

Passo 2

Considere uma partição P = {a = x_0 < x_1 < ⋯ < x_n = b} e defina para cada subintervalo [x_{i-1}, x_i] o ponto médio m_i = (xi-1 + xi)/2 e Δx_i = x_i - x_{i-1}. Pela desigualdade de Jensen para medida uniforme em [x_{i-1}, x_i], temos
f(mi) ,≤, 1Δxi integralxi-1^xi f(t) ,dt
Multiplicando ambos os lados por Δx_i segue
integralxi-1^xi f(t) ,dt ,≥, Δxi,f(mi)

Passo 3

Por outro lado, pela convexidade o gráfico de f fica abaixo da reta secante que liga (x_{i-1},f(x_{i-1})) e (x_i,f(x_i)). Assim, para t∈[x_{i-1},x_i],
f(t) ,≤, xi - tΔxif(xi-1) , + , t - xi-1Δxif(xi)
Integrando de x_{i-1} a x_i e simplificando, obtemos
integralxi-1^xi f(t) ,dt ,≤, f(xi-1) + f(xi)2,Δxi

Passo 4

Somando as desigualdades obtidas para i=1,…,n, resultam
integrala^b f(t) ,dt = sumi=1^n integralxi-1^xi f(t),dt ,≥, sumi=1^n Δxi,f(mi) = QP(f)
e
integrala^b f(t) ,dt ,≤, sumi=1^n f(xi-1) + f(xi)2,Δxi = QT(f)

Resposta

Q_P(f) ≤ \displaystyle \int_a^b f(x),dx ≤ Q_T(f).

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