Problema 43. Provar que a seguinte estimativa para a fórmula de quadratura de Simpson em Winfty^3[a, b] é válida:
sup f in Winfty^r[a, b]|integrala^b f(x) d x-QS(f)|=M (b-a)^4576

Passo 1

O lance é mostrar que o erro de Simpson pode ser escrito como uma integral contra a derivada de ordem 3 de f (pois o quadratura é exata em polinômios de grau ≤2) e então usar norma ∞ para tirar sup.

Passo 2

Vamos usar o Teorema do Kernel de Peano para quadraturas: se Q é exato em polinômios de grau ≤m−1, então para f∈W_∞^m[a,b] vale
E(f)=integrala^b f(x),dx - Q(f) = integrala^b Km(t),f^(m)(t),dt,
onde K_m(t) é o kernel de Peano de ordem m. Além disso
|E(f)| <= |f^(m)|infty integrala^b |Km(t)|,dt

Passo 3

No nosso caso Simpson (na forma simples sobre [a,b]) é exato para polinômios de grau ≤2, logo m=3 e
ES(f)=integrala^b K3(t),f^(3)(t),dt
Precisamos achar explicitamente K_3(t).

Passo 4

Para derivar K_3(t) basta aplicar a construção usual: seja φ_x(s)=(x−s)^2_+/2 e note que
integrala^b φx''(s),ds = (x−b)+ - (x−a)+ = 0,&a
mas o jeito mais direto é usar a forma fechada (ver livros de NC):
K3(t)= (t-a)^22, & a<= t<= a+b2,[6pt] (t-b)^22, & a+b2<= t<= b

Passo 5

Agora, tomando M=|f^{(3)}|_\infty, vem
|ES(f)| <= M integrala^b |K3(t)|,dt

Passo 6

Basta então calcular
integrala^a+b2 (t-a)^22,dt + integrala+b2^b (b-t)^22,dt
Fazendo a mudança u=t−a no primeiro e u=b−t no segundo, cada integral vale
integral0^b-a2 u^22,du = 12 cdot (b-a)^324 = (b-a)^348
Somando as duas dá
2 cdot (b-a)^348 = (b-a)^324 = (b-a)^4576 cdot M

Passo 7

Pronto: o supremo do erro sobre todas as f com |f^{(3)}|_∞=M é exatamente
M ,(b-a)^4576

Resposta

\displaystyle \sup_{f\in W_{\infty}3[a,b]}\Bigl|\int_ab f(x),dx - Q_S(f)\Bigr| = M,\frac{(b-a)^4}{576}

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