Problema 43. Provar que a seguinte estimativa para a fórmula de quadratura de Simpson em
é válida:
Passo 1
O lance é mostrar que o erro de Simpson pode ser escrito como uma integral contra a derivada de ordem 3 de f (pois o quadratura é exata em polinômios de grau ≤2) e então usar norma ∞ para tirar sup.
Passo 2
Vamos usar o Teorema do Kernel de Peano para quadraturas: se Q é exato em polinômios de grau ≤m−1, então para f∈W_∞^m[a,b] vale
onde K_m(t) é o kernel de Peano de ordem m. Além disso
Passo 3
No nosso caso Simpson (na forma simples sobre [a,b]) é exato para polinômios de grau ≤2, logo m=3 e
Precisamos achar explicitamente K_3(t).
Passo 4
Para derivar K_3(t) basta aplicar a construção usual: seja φ_x(s)=(x−s)^2_+/2 e note que
mas o jeito mais direto é usar a forma fechada (ver livros de NC):
Passo 5
Agora, tomando M=|f^{(3)}|_\infty, vem
Passo 6
Basta então calcular
Fazendo a mudança u=t−a no primeiro e u=b−t no segundo, cada integral vale
Somando as duas dá
Passo 7
Pronto: o supremo do erro sobre todas as f com |f^{(3)}|_∞=M é exatamente
Resposta
\displaystyle \sup_{f\in W_{\infty}3[a,b]}\Bigl|\int_ab f(x),dx - Q_S(f)\Bigr| = M,\frac{(b-a)^4}{576}