Problema 45. Seja
. Provar que existe um ponto
, tal que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar o termo de erro da regra de Simpson para uma função
, ou seja, provar que existe
tal que
Vamos usar mudança de variável para um intervalo simétrico e expansão de Taylor de ordem 4.
Passo 2
Definimos o ponto médio
e o semi-intervalo
. Fazemos a mudança de variável
de modo que quando
varia em
, temos
. Definimos
Então
e o termo de Simpson fica
Passo 3
Chamando de
o erro em termos de
, temos
Agora vamos expandir
em Taylor ao redor de
até a quarta derivada com resto de Lagrange:
Passo 4
Para cada
existe
entre 0 e
tal que
Substituímos essa expressão em
e em
. Note que todos os termos até grau 3 (polinômios ímpares ou mesmo o de grau 2) vão se anular ou coincidir com a regra de Simpson exata para polinômios de grau ≤3.
Passo 5
Ao calcular a diferença, os termos de grau ≤3 cancelam-se exatamente, sobrando apenas os restos de quarta ordem. Chegamos a
Como
e
são simétricos e positivos, podemos usar o Teorema do Valor Médio para integrais e somas finitas, obtendo um
tal que
Passo 6
Existe
com
Passo 7
Voltando à variável original,
e
, então
com
. Isso conclui a prova.
Passo 8
Resposta
Existe
tal que