Problema 45. Seja f in C^4[a, b]. Provar que existe um ponto xi3 in[a, b], tal que
integrala^b f(x) d x-b-a6[f(a)+4 f(a+b2)+f(b)]=-f^(4)(xi3)2880(b-a)^5

Passo 1

O enunciado pede para mostrar o termo de erro da regra de Simpson para uma função fin C^4[a,b], ou seja, provar que existe xi3in[a,b] tal que
integrala^b f(x),dx - b-a6l[f(a) + 4fl(tfraca+b2r) + f(b)r] = -f^(4)(xi3)2880(b-a)^5
Vamos usar mudança de variável para um intervalo simétrico e expansão de Taylor de ordem 4.

Passo 2

Definimos o ponto médio m=tfraca+b2 e o semi-intervalo h=tfracb-a2. Fazemos a mudança de variável
u = x - m,
de modo que quando x varia em [a,b], temos nuin[-h,h]. Definimos
g(nu)=f(m+nu)
Então
integrala^b f(x),dx=integral-h^h g(nu),dnu
e o termo de Simpson fica
b-a6l[f(a)+4f(m)+f(b)r]=2h6l[g(-h)+4g(0)+g(h)r]=h3l[g(-h)+4g(0)+g(h)r]

Passo 3

Chamando de E o erro em termos de g, temos
E=integral-h^hg(nu),dnu - h3l[g(-h)+4g(0)+g(h)r]
Agora vamos expandir g(nu) em Taylor ao redor de 0 até a quarta derivada com resto de Lagrange:

Passo 4

Para cada nuin[-h,h] existe eta(nu) entre 0 e nu tal que
g(nu)=g(0)+g'(0)nu+g''(0)2!nu^2+g'''(0)3!nu^3+g^(4)(eta(nu))4!nu^4
Substituímos essa expressão em integral-h^h g(nu)dnu e em g(pm h). Note que todos os termos até grau 3 (polinômios ímpares ou mesmo o de grau 2) vão se anular ou coincidir com a regra de Simpson exata para polinômios de grau ≤3.

Passo 5

Ao calcular a diferença, os termos de grau ≤3 cancelam-se exatamente, sobrando apenas os restos de quarta ordem. Chegamos a
E= integral-h^h g^(4)(eta(nu))24,nu^4,dnu - h3l[g^(4)(eta(-h))24(-h)^4+g^(4)(eta(h))24h^4r]
Como nu^4 e h^4 são simétricos e positivos, podemos usar o Teorema do Valor Médio para integrais e somas finitas, obtendo um xiin[-h,h] tal que

Passo 6

Existe xiin[-h,h] com
E=-g^(4)(xi)24l[integral-h^hnu^4,dnu - h3(2h^4)r] = -g^(4)(xi)24l[2h^55-2h^53r] = -g^(4)(xi)h^590

Passo 7

Voltando à variável original, g^(4)(xi)=f^(4)(m+xi) e h=tfracb-a2, então
E=-f^(4)(xi3)90l(b-a2r)^5 = -f^(4)(xi3)2880(b-a)^5,
com xi3=m+xiin[a,b]. Isso conclui a prova.

Passo 8

Resposta

Existe xi3in[a,b] tal que
integrala^b f(x),dx - b-a6l[f(a)+4fl(tfraca+b2r)+f(b)r] = -f^(4)(xi3)2880(b-a)^5

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