Problema 51. Seja f in C^2[0,1]. Prove que
integrala^b f(x) d x=38 h[f(x0)+3 f(x1)+3 f(x2)+f(x3)]-380 f^(4)(xi) h^5
onde a e h=(b-a) / 3.

Problema 52.

[
integrala^b f(x) d x=43 h[2 f(x1)+f(x2)+2 f(x3)]+1445 f^(4)(xi) h^5, a

Passo 1

Neste exercício vamos usar interpolação polinomial de Lagrange e as regras de Newton–Cotes (fechada de grau 3 para o problema 51 e aberta de grau 3 para o problema 52), além da expressão do resto de Lagrange para obter o termo de erro envolvendo f^{(4)}.

Passo 2

Para o problema 51 (regra de Newton–Cotes fechada de grau 3):
  • Definimos nós equidistantes x_k = a + k h, k=0,…,3 com h=(b−a)/3.
  • Construímos o polinômio de Lagrange P_3(x)=∑_{k=0}^{3}f(x_k),igl( extstyle rac{(x−x_0)⋯(x−x_{k−1})(x−x_{k+1})⋯(x−x_3)}{(x_k−x_0)⋯(x_k−x_{k−1})(x_k−x_{k+1})⋯(x_k−x_3)}igr).
  • Integramos P_3 em [a,b] trocando variável t=(x−a)/h, obtendo integrala^bP3(x)dx = hsumk=0^3f(xk)integral0^3ellk(t),dt = 38hl[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r]
    - Para o erro usamos o resto de Lagrange
    R3(x)=f^(4)(xix)4!(x−x0)(x−x1)(x−x2)(x−x3)Integrando de a a b e mudando variável, encontra-se integrala^bR3(x)dx = -380f^(4)(xi)h^5
    Assim obtemos
    integrala^b f(x)dx = 38hl[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r] - 380f^(4)(xi)h^5

Passo 3

Para o problema 52 (regra de Newton–Cotes aberta de grau 3):
  • Tomamos nós internos x_k=a+k h, k=1,2,3 com h=(b−a)/4.
  • Interpolamos f por um polinômio P_3(x) de grau 3 usando os pontos x_0=a, x_1,x_2,x_3 e x_4=b, mas remetendo à forma aberta só usamos f(x_1),f(x_2),f(x_3).
  • Impomos exatidão para polinômios de grau ≤2 e determinamos os pesos w_1,w_2,w_3 resolvendo integrala^b x^j dx = w1 x1^j + w2 x2^j + w3 x3^j, j=0,1,2
    A solução dá w_1=w_3=\tfrac{8}{3}h e w_2=\tfrac{4}{3}h, o que leva a
    integrala^bP3(x)dx = tfrac43hl[2f(x1)+f(x2)+2f(x3)r]
  • O termo de erro vem do resto de Lagrange de grau 4 e sua integração, resultando integrala^bR3(x)dx = 1445f^(4)(xi)h^5
    Logo
    integrala^b f(x)dx = 43hl[2f(x1)+f(x2)+2f(x3)r] + 1445f^(4)(xi)h^5

Resposta

Problema 51:\
integrala^b f(x)dx = 38hl[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r] - 380f^(4)(xi)h^5, onde h=b-a3, a
Problema 52:\
integrala^b f(x)dx = 43hl[2f(x1)+f(x2)+2f(x3)r] + 1445f^(4)(xi)h^5, onde h=b-a4, a

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