Problema 51. Seja
. Prove que
onde
e
.
Problema 52.
[
Passo 1
Neste exercício vamos usar interpolação polinomial de Lagrange e as regras de Newton–Cotes (fechada de grau 3 para o problema 51 e aberta de grau 3 para o problema 52), além da expressão do resto de Lagrange para obter o termo de erro envolvendo f^{(4)}.
Passo 2
Para o problema 51 (regra de Newton–Cotes fechada de grau 3):
- Definimos nós equidistantes x_k = a + k h, k=0,…,3 com h=(b−a)/3.
- Construímos o polinômio de Lagrange P_3(x)=∑_{k=0}^{3}f(x_k),igl( extstylerac{(x−x_0)⋯(x−x_{k−1})(x−x_{k+1})⋯(x−x_3)}{(x_k−x_0)⋯(x_k−x_{k−1})(x_k−x_{k+1})⋯(x_k−x_3)}igr).
- Integramos P_3 em [a,b] trocando variável t=(x−a)/h, obtendo
- Para o erro usamos o resto de Lagrange
Integrando de a a b e mudando variável, encontra-se
Assim obtemos
Passo 3
Para o problema 52 (regra de Newton–Cotes aberta de grau 3):
- Tomamos nós internos x_k=a+k h, k=1,2,3 com h=(b−a)/4.
- Interpolamos f por um polinômio P_3(x) de grau 3 usando os pontos x_0=a, x_1,x_2,x_3 e x_4=b, mas remetendo à forma aberta só usamos f(x_1),f(x_2),f(x_3).
- Impomos exatidão para polinômios de grau ≤2 e determinamos os pesos w_1,w_2,w_3 resolvendo
A solução dá w_1=w_3=\tfrac{8}{3}h e w_2=\tfrac{4}{3}h, o que leva a
- O termo de erro vem do resto de Lagrange de grau 4 e sua integração, resultando
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Resposta
Problema 51:\
Problema 52:\