Problema 53. Seja
uma função cuja derivada é integrável e com módulo que não exede um em
. Determinar o menor número de nós da fórmula de quadratura composta do ponto médio (trapézio, Simpson) para calcular
com erro menos que 0.001 .
Passo 1
O enunciado pede para aproximar
por fórmulas compostas (ponto médio, trapézio e Simpson) de modo que o erro seja menor que
. Sabemos que
é integrável e satisfaz
em
, ou seja,
é Lipschitziana de constante
.
Passo 2
Para funções Lipschitz de constante
em
, analisamos o erro em cada subintervalo de tamanho
: no ponto médio, a diferença entre o retângulo de altura
e a área real forma dois triângulos de base
e altura ≤
, dando erro local ≤
. Somando os
subintervalos, o erro total satisfaz
Passo 3
Queremos
com
, ou seja
Logo, o menor
Passo 4
Para a regra composta do trapézio, por argumentação semelhante o erro local é triângulo de base
e altura ≤
, dando erro local ≤
. Então
Passo 5
queremos
, isto é
e
. O menor
inteiro é 501, e a regra do trapézio usa
nós, logo
.
Passo 6
Para a regra de Simpson composta nota-se que
Passo 7
e portanto
Impondo
Resposta
Número mínimo de nós: ponto médio 251, trapézio 502 e Simpson 335.