Problema 53. Seja f(x) uma função cuja derivada é integrável e com módulo que não exede um em [0,1]. Determinar o menor número de nós da fórmula de quadratura composta do ponto médio (trapézio, Simpson) para calcular integral0^1 f(x) d x com erro menos que 0.001 .

Passo 1

O enunciado pede para aproximar integral0^1f(x),dx por fórmulas compostas (ponto médio, trapézio e Simpson) de modo que o erro seja menor que 10^-3. Sabemos que f'(x) é integrável e satisfaz |f'(x)|<=1 em [0,1], ou seja, f é Lipschitziana de constante L=1.

Passo 2

Para funções Lipschitz de constante L em [0,1], analisamos o erro em cada subintervalo de tamanho h=1/n: no ponto médio, a diferença entre o retângulo de altura fl(xi+h/2r) e a área real forma dois triângulos de base h/2 e altura ≤ L,h/2, dando erro local ≤ Lh^2/4. Somando os n subintervalos, o erro total satisfaz
|Emid|<= ncdotLh^24=Lh4,

Passo 3

Queremos Lh/4<10^-3 com L=1, ou seja
h<4times10^-3Longrightarrow n>14times10^-3=250,
Logo, o menor n inteiro é 251. Como a régua do ponto médio usa exatamente um ponto por subintervalo, o número de nós é Nmid=n=251.

Passo 4

Para a regra composta do trapézio, por argumentação semelhante o erro local é triângulo de base h e altura ≤ Lh, dando erro local ≤ Lh^2/2. Então
|Etrap|<= ncdotLh^22=Lh2,,

Passo 5

queremos h/2<10^-3, isto é h<2times10^-3 e n>500. O menor n inteiro é 501, e a regra do trapézio usa n+1 nós, logo Ntrap=502.

Passo 6

Para a regra de Simpson composta nota-se que
S=2Emid+Etrap3

Passo 7

e portanto
|ES|<=2(tfracLh4)+(tfracLh2)3=Lh3,
Impondo h/3<10^-3 h<3times10^-3 e n>333.33. Como n deve ser par, escolhemos n=334. A regra de Simpson usa n+1 nós, logo NS=335.

Resposta

Número mínimo de nós: ponto médio 251, trapézio 502 e Simpson 335.

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