Problema 54. Seja
. Prove que
onde
, e
.
Passo 1
O problema pede para mostrar a fórmula de integração numérica conhecida como regra de Newton–Cotes fechada de ordem 3 (Regra 3/8 de Simpson) para uma função
. Definimos os pontos
para
, com
, e queremos provar
Vamos usar interpolação de Lagrange de grau 3 e a fórmula do resto.
Passo 2
Construímos o polinômio interpolador de grau 3 em
:
onde
é a base de Lagrange. Assim,
para cada
.
Passo 3
Pelo teorema do resto na interpolação, existe para cada
um
tal que
Passo 4
Integramos de
até
para separar a parte exata e o erro:
Passo 5
Como
, tem-se
Cálculo padrão mostra que
Logo
Passo 6
Para o termo de erro, definimos
e fazemos a mudança de variável
, de
a
. Então
e
, de modo que
Passo 7
Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe
tal que
Juntando tudo concluímos a fórmula desejada.