Problema 54. Seja f in C^4[a, b]. Prove que
integrala^b f(x) d x=38 h[f(x0)+3 f(x1)+3 f(x2)+f(x3)]-380 f^(4)(xi) h^5
onde a, e h=(b-a) / 3.

Passo 1

O problema pede para mostrar a fórmula de integração numérica conhecida como regra de Newton–Cotes fechada de ordem 3 (Regra 3/8 de Simpson) para uma função fin C^4[a,b]. Definimos os pontos xk=a+kh para k=0,1,2,3, com h=(b-a)/3, e queremos provar
integrala^b f(x),dx=38hl[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r]-380f^(4)(xi)h^5
Vamos usar interpolação de Lagrange de grau 3 e a fórmula do resto.

Passo 2

Construímos o polinômio interpolador de grau 3 em x0,x1,x2,x3:
P3(x)=sumk=0^3 f(xk),ellk(x),
onde
ellk(x)=prodsubstackj=0jneq k^3x-xjxk-xj
é a base de Lagrange. Assim, P3(xk)=f(xk) para cada k=0,1,2,3.

Passo 3

Pelo teorema do resto na interpolação, existe para cada xin[a,b] um xixin(a,b) tal que
f(x)=P3(x)+f^(4)(xix)4!,(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)

Passo 4

Integramos de a até b para separar a parte exata e o erro:
integrala^b f(x),dx=integrala^b P3(x),dx+integrala^b f^(4)(xix)24,(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3),dx

Passo 5

Como P3(x)=sumk=0^3 f(xk)ellk(x), tem-se
integrala^b P3(x),dx=sumk=0^3 f(xk)integrala^b ellk(x),dx
Cálculo padrão mostra que
integrala^b ell0(x),dx=integrala^b ell3(x),dx=38h, integrala^b ell1(x),dx=integrala^b ell2(x),dx=98h
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integrala^b P3(x),dx=38hl[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r]

Passo 6

Para o termo de erro, definimos
omega(x)=(x-x0)(x-x1)(x-x2)(x-x3)
e fazemos a mudança de variável t=(x-a)/h, de 0 a 3. Então x-xk=h(t-k) e dx=h,dt, de modo que
integrala^b omega(x),dx=h^5integral0^3 t(t-1)(t-2)(t-3),dt=-910h^5

Passo 7

Pelo Teorema do Valor Médio para integrais existe xiin(a,b) tal que
integrala^b f^(4)(xix)24,omega(x),dx=f^(4)(xi)24integrala^b omega(x),dx=-9240f^(4)(xi)h^5=-380f^(4)(xi)h^5
Juntando tudo concluímos a fórmula desejada.

Resposta

integrala^bf(x),dx=38hl[f(x0)+3f(x1)+3f(x2)+f(x3)r]-380f^(4)(xi)h^5

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