Problema 56. Seja f(x) uma função cuja primeira derivada existe, é inegrável e o seu módulo não exede um em [0,1]. Determinar o número dos subintervalos para aplicação da fórmula do paralelogramo (trapézio, Simpson) composta para cálculo aproximado da integral integral0^1 f(x) d x com precisão 0.001 .

Passo 1

Resumo do enunciado: queremos aproximar I=∫₀¹f(x)dx com erro máximo ε=0,001 usando as regras compostas de Newton–Cotes (paralelogramo, trapézio e Simpson). Vamos usar os limites de erro padrão, assumindo as derivadas necessárias bem comportadas e com sup|f’’(x)|≤1 e sup|f⁽⁴⁾(x)|≤1 em [0,1].

Passo 2

Regra composta do ponto médio (paralelogramo): dividindo [0,1] em n subintervalos, o tamanho h=1/n e o erro satisfaz
|EM|<=(b-a)h^224,M2=h^224=124n^2
Queremos 1/(24n^2)≤0,001 ⇒ n^2≥1/(0,024)=41,666… ⇒ n≥√41,666…≈6,456 ⇒ n=7.

Passo 3

Regra composta do trapézio: com h=1/n, o erro está limitado por
|ET|<=(b-a)h^212,M2=h^212=112n^2
Impondo 1/(12n^2)≤0,001 ⇒ n^2≥1/(0,012)=83,333… ⇒ n≥√83,333…≈9,128 ⇒ n=10.

Passo 4

Regra composta de Simpson: requer n par e, com h=1/n, o erro satisfaz
|ES|<=(b-a)h^4180,M4=h^4180=1180n^4
Desejando 1/(180n^4)≤0,001 ⇒ n^4≥1/(0,18)=5,555… ⇒ n≥5,555…^{1/4}≈1,566 ⇒ menor n par é 2.

Resposta

Número mínimo de subintervalos: paralelogramo (regra do ponto médio): n=7; trapézio composto: n=10; Simpson composto: n=2.

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