Problema 56. Seja
uma função cuja primeira derivada existe, é inegrável e o seu módulo não exede um em
. Determinar o número dos subintervalos para aplicação da fórmula do paralelogramo (trapézio, Simpson) composta para cálculo aproximado da integral
com precisão 0.001 .
Passo 1
Resumo do enunciado: queremos aproximar I=∫₀¹f(x)dx com erro máximo ε=0,001 usando as regras compostas de Newton–Cotes (paralelogramo, trapézio e Simpson). Vamos usar os limites de erro padrão, assumindo as derivadas necessárias bem comportadas e com sup|f’’(x)|≤1 e sup|f⁽⁴⁾(x)|≤1 em [0,1].
Passo 2
Regra composta do ponto médio (paralelogramo): dividindo [0,1] em n subintervalos, o tamanho h=1/n e o erro satisfaz
Queremos 1/(24n^2)≤0,001 ⇒ n^2≥1/(0,024)=41,666… ⇒ n≥√41,666…≈6,456 ⇒ n=7.
Passo 3
Regra composta do trapézio: com h=1/n, o erro está limitado por
Impondo 1/(12n^2)≤0,001 ⇒ n^2≥1/(0,012)=83,333… ⇒ n≥√83,333…≈9,128 ⇒ n=10.
Passo 4
Regra composta de Simpson: requer n par e, com h=1/n, o erro satisfaz
Desejando 1/(180n^4)≤0,001 ⇒ n^4≥1/(0,18)=5,555… ⇒ n≥5,555…^{1/4}≈1,566 ⇒ menor n par é 2.
Resposta
Número mínimo de subintervalos: paralelogramo (regra do ponto médio): n=7; trapézio composto: n=10; Simpson composto: n=2.