Problema 57. Determinar o menor número dos subintervalos para aplicação da fórmula do paralelogramo (trapézio, Simpson) composta para cálculo aproximado das seguintes integrais com erro que nao exede 0.00001:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x}

Passo 1

O enunciado pede para aproximar a integral integral0^1dx1+x usando a regra composta do trapézio e de Simpson de modo que o erro não exceda 10^-5. Vamos usar as cotas de erro conhecidas para cada método, que dependem das derivadas de f(x)=1/(1+x).

Passo 2

Para a regra composta do trapézio, a cota de erro é
|ET| <= (b-a)^312,n^2maxxin[a,b]|f''(x)|
Aqui a=0, b=1 e
f'(x)=-1(1+x)^2,
f''(x)=2(1+x)^3
No intervalo [0,1], f''(x) atinge o máximo em x=0, logo
max|f''(x)|=2
Substituindo, obtemos
|ET| <= 1^312,n^2cdot 2 = 16,n^2 <= 10^-5
Isto leva a
n^2 >= 16times10^-5 approx 1,6667times10^4
n >= 129,1
Portanto o menor inteiro n que satisfaz é n=130.

Passo 3

Para a regra composta de Simpson, a cota de erro é
|ES| <= (b-a)^5180,n^4maxxin[a,b]|f^(4)(x)|
Calculamos as derivadas:
f''(x)=2(1+x)^3,
f'''(x)=-6(1+x)^4,
f^(4)(x)=24(1+x)^5
No intervalo [0,1], o máximo é em x=0, logo max|f^(4)(x)|=24. Assim
|ES| <= 1^5180,n^4cdot24 = 215,n^4 <= 10^-5
Isso dá
n^4 >= 215times10^-5 approx 1,3333times10^4
n >= (1,3333times10^4)^1/4 approx 10,74
Como Simpson composto requer n par, o menor n inteiro par que vale é n=12.

Resposta

Regra do trapézio composta: n = 130 subintervalos; Regra de Simpson composta: n = 12 subintervalos.

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