Problema 57. Determinar o menor número dos subintervalos para aplicação da fórmula do paralelogramo (trapézio, Simpson) composta para cálculo aproximado das seguintes integrais com erro que nao exede 0.00001:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x}
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x}
Passo 1
O enunciado pede para aproximar a integral
usando a regra composta do trapézio e de Simpson de modo que o erro não exceda
. Vamos usar as cotas de erro conhecidas para cada método, que dependem das derivadas de
.
Passo 2
Para a regra composta do trapézio, a cota de erro é
Aqui
,
e
No intervalo
,
atinge o máximo em
, logo
Substituindo, obtemos
Isto leva a
Portanto o menor inteiro
que satisfaz é
.
Passo 3
Para a regra composta de Simpson, a cota de erro é
Calculamos as derivadas:
No intervalo
, o máximo é em
, logo
. Assim
Isso dá
Como Simpson composto requer
par, o menor
inteiro par que vale é
.
Resposta
Regra do trapézio composta: n = 130 subintervalos; Regra de Simpson composta: n = 12 subintervalos.