Problema 57. Determinar o menor número dos subintervalos para aplicação da fórmula do paralelogramo (trapézio, Simpson) composta para cálculo aproximado das seguintes integrais com erro que nao exede 0.00001:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}

Passo 1

A ideia aqui é aproximar I=integral0^1dx1+x^2 usando as fórmulas compostas do trapézio e de Simpson, de modo que o erro não ultrapasse 10^-5. Para isso vamos usar as estimativas de erro que envolvem as derivadas de segunda ordem (para o trapézio) e de quarta ordem (para Simpson).

Passo 2

Temos f(x)=11+x^2. Calculamos
f''(x)=6x^2-2(1+x^2)^3
Em [0,1] verifica-se que (\max_{[0,1]}|f’’(x)|=|f’’(0)|=2. Portanto, para o trapézio composto podemos usar este valor no erro.

Passo 3

A fórmula de erro do trapézio composto é
|ET|<=(b-a)^312,n^2max|f''(x)|
Aqui a=0, b=1 e max|f''|=2, logo
|ET|<=1^312,n^2cdot2=16n^2
Exigindo 1/(6n^2)<=10^-5
n^2>=16times10^-5approx1,6667times10^4
ou seja n>=130.

Passo 4

Para Simpson composto precisamos de
f^(4)(x)=24-240x^2+120x^4(1+x^2)^5
e nesse mesmo intervalo tem-se max|f^(4)(x)|=|f^(4)(0)|=24

Passo 5

A falha de Simpson composta satisfaz
|ES|<=(b-a)^5180,n^4max|f^(4)(x)|
Substituindo b-a=1 e max|f^(4)|=24 vem
|ES|<=1^5180,n^4cdot24=24180,n^4=215,n^4
Impondo 2/(15n^4)<=10^-5 resulta em
n^4>=215times10^-5approx1,3333times10^4
e portanto n>=10,745. Como Simpson exige n par, tomamos n=12.

Resposta

Para o trapézio composto é necessário ao menos n=130 subintervalos; para Simpson composto, n=12.

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