Problema 57. Determinar o menor número dos subintervalos para aplicação da fórmula do paralelogramo (trapézio, Simpson) composta para cálculo aproximado das seguintes integrais com erro que nao exede 0.00001:
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}
\int_{0}^{1} \frac{d x}{1+x^{2}}
Passo 1
A ideia aqui é aproximar
usando as fórmulas compostas do trapézio e de Simpson, de modo que o erro não ultrapasse
. Para isso vamos usar as estimativas de erro que envolvem as derivadas de segunda ordem (para o trapézio) e de quarta ordem (para Simpson).
Passo 2
Temos
. Calculamos
Em
verifica-se que (\max_{[0,1]}|f’’(x)|=|f’’(0)|=2. Portanto, para o trapézio composto podemos usar este valor no erro.
Passo 3
A fórmula de erro do trapézio composto é
Aqui
,
e
, logo
Exigindo
dá
ou seja
.
Passo 4
Para Simpson composto precisamos de
e nesse mesmo intervalo tem-se
Passo 5
A falha de Simpson composta satisfaz
Substituindo
e
vem
Impondo
resulta em
e portanto
. Como Simpson exige
par, tomamos
.
Resposta
Para o trapézio composto é necessário ao menos n=130 subintervalos; para Simpson composto, n=12.