Problema 58. Determinar o menor número dos subintervalos para aplicação da fórmula de Simpson composta para cálculo aproximado da integral
integralpi / 4^pi / 2 sin xx d x
com erro que nao exede 0.001

Passo 1

O problema quer aproximar a integral integralpi/4^pi/2 sin xx,dx usando a regra composta de Simpson de modo que o erro não exceda 0.001. Vamos usar a fórmula de erro do método e estimator de f^(4).

Passo 2

Para a regra composta de Simpson com n subintervalos ( n deve ser par) e passo h=(b-a)/n, o erro satisfaz:
|E| <= b-a180,h^4maxxiin[a,b]|f^(4)(xi)|

Passo 3

Temos f(x)=sin x/x. Calculando até a quarta derivada (agrupando termos) obtém-se:
f^(4)(x)=sin xl(1x-12x^3+24x^5r)+cos xl(4x^2-24x^4r)

Passo 4

Para estimar M4=max[pi/4,,pi/2]|f^(4)(x)|, notamos que o maior valor de cada termo ocorre em x=pi/4. Substituindo x=pi/4 encontramos
M4approx|1/x-12/x^3+24/x^5|+|4/x^2-24/x^4|approx56.9+56.6approx113.5

Passo 5

Substituindo no critério de erro, com a=pi/4, b=pi/2, h=(pi/4)/n:
|E|<=pi/4180l(pi/4nr)^4 M4 = pi^5,M4720cdot256,1n^4 approx0.1885n^4 <=0.001
Isto dá
n^4>=188.5 Longrightarrow n>=3.7

Passo 6

Como n deve ser par, o menor inteiro par >=3.7 é n=4.

Resposta

4

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