Problema 4. Determinar as parabolas que melhor aproximam, pelo método dos mínimos quadrados, as tabelas
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
---|---|---|---|---|---|---|---|
y | -4 | 15 | -9 | 10 | 7 | 6 | |
x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | |
— | ---- | ---- | — | — | — | — | |
y | -4 | 15 | 1 | 10 | 7 | 6 | |
x | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
— | ---- | ---- | ---- | — | — | — | — |
y | 7 | 4 | -1 | 1 | 5 | 6 | 13 |
Passo 1
A gente precisa ajustar três parábolas do tipo
a três conjuntos de dados diferentes, usando regressão polinomial de grau 2 pelo método dos mínimos quadrados. Para isso vamos derivar as equações normais e calcular somas de potências de
e produtos
.
Passo 2
O método dos mínimos quadrados para um ajuste
leva ao sistema das equações normais:
Então, para cada tabela, a gente calcula essas somas e resolve o sistema para achar
.
Passo 3
Para a primeira tabela (
,
), os valores são:
O sistema normal fica:
$$
115a + 27b + 19c = 91
$$
Passo 4
Resolvendo esse sistema por eliminação (primeiro eliminei
usando segunda e terceira equações, achei
, depois
, e finalmente
), obtemos:
$$a = -\tfrac{2}{7},\quad b = \tfrac{11}{7},\quad c = \tfrac{30}{7}.
$$
Passo 5
Para a segunda tabela (mesmos
, mas
), as somas de potências de
são iguais, e notamos que
,
, mas agora
. O sistema normal vira:
Passo 6
Eliminando
entre a segunda e a terceira equação dá
, depois achamos
e, substituindo tudo na primeira, surge
. Então
$$a = -1,\quad b = 2,\quad c = 8.
$$
Passo 7
Para a terceira tabela (
,
), calculamos:
O sistema simplifica para:
$$
196a + 28c = 224,
$$
Daí
, de
vem
, e substituindo em
dá
,
.
Passo 8
Assim, as parábolas ajustadas são obtidas para cada tabela resolvida.
Resposta
Tabela 1:
Tabela 2:
Tabela 3:
Tabela 2:
Tabela 3: