Problema 4. Determinar as parabolas que melhor aproximam, pelo método dos mínimos quadrados, as tabelas
x -2 -1 0 1 2 3
y -4 15 -9 10 7 6
x -2 -1 0 1 2 3
---- ----
y -4 15 1 10 7 6
x -3 -2 -1 0 1 2 3
---- ---- ----
y 7 4 -1 1 5 6 13

Passo 1

A gente precisa ajustar três parábolas do tipo y = ax^2 + bx + c a três conjuntos de dados diferentes, usando regressão polinomial de grau 2 pelo método dos mínimos quadrados. Para isso vamos derivar as equações normais e calcular somas de potências de x e produtos x^k y.

Passo 2

O método dos mínimos quadrados para um ajuste y = ax^2 + bx + c leva ao sistema das equações normais:
sum xi^4,a + sum xi^3,b + sum xi^2,c = sum xi^2 yi
sum xi^3,a + sum xi^2,b + sum xi,c = sum xi yi
sum xi^2,a + sum xi,b + n,c = sum yi
Então, para cada tabela, a gente calcula essas somas e resolve o sistema para achar a,b,c.

Passo 3

Para a primeira tabela ( x=-2,-1,0,1,2,3, y=-4,15,-9,10,7,6), os valores são:
n=6, sum xi = 3, sum xi^2 = 19, sum xi^3 = 27, sum xi^4 = 115,
sum yi = 25, sum xi yi = 35, sum xi^2 yi = 91
O sistema normal fica:
$$
115a + 27b + 19c = 91
$$
115a + 27b + 19c = 91
27a + 19b + 3c = 35

Passo 4

Resolvendo esse sistema por eliminação (primeiro eliminei c usando segunda e terceira equações, achei b=9/7 - a, depois c=74/21 - (8/3)a, e finalmente a=-2/7), obtemos:
$$a = -\tfrac{2}{7},\quad b = \tfrac{11}{7},\quad c = \tfrac{30}{7}.
$$

Passo 5

Para a segunda tabela (mesmos x, mas y=-4,15,1,10,7,6), as somas de potências de x são iguais, e notamos que sum xi yi=35, sum xi^2 yi=91, mas agora sum yi=35. O sistema normal vira:
115a + 27b + 19c = 91
27a + 19b + 3c = 35
19a + 3b + 6c = 35

Passo 6

Eliminando c entre a segunda e a terceira equação dá b=1-a, depois achamos c=(16-8a)/3 e, substituindo tudo na primeira, surge a=-1. Então
$$a = -1,\quad b = 2,\quad c = 8.
$$

Passo 7

Para a terceira tabela ( x=-3,-2,-1,0,1,2,3, y=7,4,-1,1,5,6,13), calculamos:
n=7, sum xi=0, sum xi^2=28, sum xi^3=0, sum xi^4=196,
sum yi=35, sum xi yi=28, sum xi^2 yi=224
O sistema simplifica para:
$$
196a + 28c = 224,
$$
196a + 28c = 224,
28b = 28,
Daí 28a + 7c = 35 , de b=1 vem 4a+c=5, e substituindo em c=5-4a 196a+28c=224, a=1.

Passo 8

Assim, as parábolas ajustadas são obtidas para cada tabela resolvida.

Resposta

Tabela 1: y = -tfrac27x^2 + tfrac117x + tfrac307
Tabela 2: y = -x^2 + 2x + 8
Tabela 3: y = x^2 + x + 1

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