Problema 6. Provar que, se
é uma função par (impar) e os pontos
são simétrcos com reaspeito à origem, isto é,
, então o polinômio de grau
que melhos aproxima
, pelo método dos mínimos quadrados, nos pontos
, é também par (ímpar).
Passo 1
Estamos diante de um problema de mínimos quadrados: temos uma função real f(x), que é par (ou ímpar), e um conjunto de pontos x₀,…,x_m simétricos em torno da origem (isto é, x_k = -x_{m-k}). Precisamos mostrar que o polinômio p_n de grau ≤ n que minimiza a soma dos erros quadráticos em relação a esses pontos também é par (ou ímpar). Vamos usar propriedades de simetria e a unicidade do minimizador.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a soma dos quadrados dos resíduos que queremos minimizar. Para um polinômio genérico p(x) de grau ≤ n definimos
O polinômio de mínimos quadrados p_n é aquele que torna S§ mínimo.
Passo 3
Agora observe que, se definirmos o polinômio refletido
então, usando f par e a simetria dos nós,
Fazendo a troca de índice j = m−k, temos x_k = -x_j e f(-x_k)=f(x_j), de modo que S(q) = S§. Logo q(x) também é minimizador.
Passo 4
Em seguida, construímos a parte par de p(x):
Esse r(x) é um polinômio de grau ≤ n (soma e divisão por constante não aumentam o grau) e é par por construção. Além disso,
(pela desigualdade de convexidade ou pela observação de que r é combinação convexa de p e q). Mas como p minimiza S, só pode ocorrer S®=S§, e pela unicidade do minimizador temos r(x)=p(x). Daí p é par.
Passo 5
Para o caso ímpar basta análoga construção da parte ímpar:
que satisfaz as mesmas propriedades (grau ≤n, S(s)=S§) e é ímpar. Concluímos que o polinômio de mínimos quadrados p_n é ímpar quando f é ímpar.
Passo 6
Portanto, mostramos que a simetria de f e dos pontos força o polinômio de mínimos quadrados a herdar a paridade de f.
Resposta
O polinômio de grau ≤n que minimiza a soma dos quadrados dos resíduos em nós simétricos é necessariamente par se f é par, e ímpar se f é ímpar, por simetria e unicidade do minimizador.