Sejam
números dados. Mostrar que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dados os números f₀, f₁, …, fₙ e usando o operador diferença para frente Δ, vale
Este problema faz parte do conteúdo de diferenças finitas e binomial inversion.
Passo 2
Primeiro vamos relembrar a definição e obter a fórmula geral de Δᵐ fₖ. Por definição
e iterando a diferença m vezes, por indução em m, chega-se a
Este resultado é fundamental para manipular somas envolvendo Δ.
Passo 3
Agora aplicamos essa fórmula ao somatório original. Chamando
substituímos
Logo
Para organizar, fazemos a troca de soma definindo p=j+i, de modo que p varia de 0 a n.
Passo 4
Reagrupando os termos em função de cada f_{p}, obtemos
Observe que (-1){n-j}(-1){n-j-(p-j)}=(-1)^{p-j} e que
Então o coeficiente de f_{p} é
Mas para p>0 vale a soma binomial
enquanto para p=0 ela vale 1.
Passo 5
Portanto, todos os termos com p>0 cancelam e resta apenas p=0, de onde
Isso prova a identidade desejada.