Sejam f0, f1, ldots, fn números dados. Mostrar que
sumj=0^n(-1)^n-jbinomnj De

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dados os números f₀, f₁, …, fₙ e usando o operador diferença para frente Δ, vale
sumj=0^n(-1)^n-jbinomnj,Δ^n-jfj=f0
Este problema faz parte do conteúdo de diferenças finitas e binomial inversion.

Passo 2

Primeiro vamos relembrar a definição e obter a fórmula geral de Δᵐ fₖ. Por definição
Δfk=fk+1-fk,
e iterando a diferença m vezes, por indução em m, chega-se a
Δ^mfk=sumi=0^m(-1)^m-ibinommi,fk+i
Este resultado é fundamental para manipular somas envolvendo Δ.

Passo 3

Agora aplicamos essa fórmula ao somatório original. Chamando
S=sumj=0^n(-1)^n-jbinomnj,Δ^n-jfj,
substituímos
Δ^n-jfj=sumi=0^n-j(-1)^n-j-ibinomn-ji,fj+i
Logo
S=sumj=0^n(-1)^n-jbinomnjsumi=0^n-j(-1)^n-j-ibinomn-ji,fj+i
Para organizar, fazemos a troca de soma definindo p=j+i, de modo que p varia de 0 a n.

Passo 4

Reagrupando os termos em função de cada f_{p}, obtemos
S=sump=0^nfpsumj=0^p(-1)^n-j(-1)^n-j-(p-j)binomnjbinomn-jp-j
Observe que (-1){n-j}(-1){n-j-(p-j)}=(-1)^{p-j} e que
binomnjbinomn-jp-j=binomnpbinompj
Então o coeficiente de f_{p} é
binomnpsumj=0^p(-1)^p-jbinompj
Mas para p>0 vale a soma binomial
sumj=0^p(-1)^p-jbinompj=0,
enquanto para p=0 ela vale 1.

Passo 5

Portanto, todos os termos com p>0 cancelam e resta apenas p=0, de onde
S=f0
Isso prova a identidade desejada.

Resposta

f0

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