Provar que
sumk=0^n omega^prime prime(xk)omega^prime(xk)=0

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que sumk=0^n omega''(xk)omega'(xk)=0. Isso envolve propriedades de um polinômio omega(x) que tem raízes x0, x1, dots, xn e suas derivadas em cada raiz.

Passo 2

Definimos o polinômio de grau n+1 como
omega(x)=prodj=0^n (x - xj)
Então, como omega(x)=(x-xk)gk(x), temos
omega'(xk)=gk(xk)=prodjneq k(xk-xj)

Passo 3

Para relacionar omega''(xk) com omega'(xk), escrevemos
gk(x)=prodjneq k(x - xj)
e aplicamos a regra da derivada de um produto em forma de logaritmo:
gk'(x)gk(x)=sumjneq k1x - xj
Avaliação em x=xk
gk'(xk)=gk(xk)sumjneq k1xk - xj=omega'(xk)sumjneq k1xk - xj

Passo 4

Agora derivamos omega(x)=(x-xk)gk(x) de novo para obter
omega''(xk)=2,gk'(xk)
e, juntando com o resultado anterior,
omega''(xk)omega'(xk)=2sumjneq k1xk - xj

Passo 5

Por fim, somamos sobre k=0 até n:
sumk=0^nomega''(xk)omega'(xk)=2sumk=0^nsumjneq k1xk - xj
Como cada par (k,j) com kneq j contribui com
1xk - xj+1xj - xk=0, toda a soma anula. Portanto, o resultado é zero.

Resposta

0

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