Provar que
Passo 1
Temos que provar a identidade
. O conteúdo é soma com binomial e integrais, e vamos usar representação integral de
e funções Beta/Gamma.
Passo 2
Observe que para todo inteiro
vale
. Basta integrar
de 0 a 1.
Passo 3
Substituindo dentro da soma e trocando soma com integral, obtemos
Aqui usamos a expansão binomial de
.
Passo 4
Para calcular
, fazemos a substituição
,
. Então
Passo 5
Usando a relação
, temos
Como
,
e
segue
Passo 6
Logo
que é exatamente o que queríamos provar.