Provar que
sumj=0^n(-1)^n-jbinomnj 12 k+1=2^2 n(n!)^2(2 n+1)!

Passo 1

Temos que provar a identidade sumj=0^n(-1)^jbinomnj12j+1=2^2n(n!)^2(2n+1)!. O conteúdo é soma com binomial e integrais, e vamos usar representação integral de 1/(2j+1) e funções Beta/Gamma.

Passo 2

Observe que para todo inteiro j>=0 vale 12j+1=integral0^1x^2j,dx. Basta integrar x^2j de 0 a 1.

Passo 3

Substituindo dentro da soma e trocando soma com integral, obtemos
sumj=0^n(-1)^jbinomnj12j+1 =integral0^1sumj=0^nbinomnj(-1)^j x^2j,dx =integral0^1(1-x^2)^n,dx
Aqui usamos a expansão binomial de (1-x^2)^n.

Passo 4

Para calcular integral0^1(1-x^2)^n,dx, fazemos a substituição t=x^2, dt=2x,dx. Então
integral0^1(1-x^2)^n,dx =12integral0^1t^-1/2(1-t)^n,dt =12 B!l(tfrac12,n+1r)

Passo 5

Usando a relação B(a,b)=Gamma(a)Gamma(b)Gamma(a+b), temos
integral0^1(1-x^2)^n,dx =12Gamma(tfrac12)Gamma(n+1)Gamma(n+tfrac32)
Como Gamma(tfrac12)=raizpi, Gamma(n+1)=n! e
Gammal(n+tfrac32r)=(2n+1)!,raizpi2^2n+1,n!,
segue
integral0^1(1-x^2)^n,dx=2^2n(n!)^2(2n+1)!

Passo 6

Logo
sumj=0^n(-1)^jbinomnj12j+1 =integral0^1(1-x^2)^n,dx =2^2n(n!)^2(2n+1)!,
que é exatamente o que queríamos provar.

Resposta

2^2n(n!)^2(2n+1)!

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