Seja Pn, De um polinômio algébrico para o qual são conhecidos as quantidades Pk=P(xk), xk=x0+k h, k=0,1, ldots , onde
P(x)
Mostre que os valores de x=xn+1, xn+2, ldots, para n, podem ser calculados através de soma de termos, cada um sendo uma das quantidades dadas.

Passo 1

Temos um polinômio algébrico P de grau ≤ n, cujos valores em x₀+k h até k=n e as diferenças δP_{n−1}, δ²P_{n−2}, …, δⁿP₀ são conhecidos. Precisamos achar P(x) em x=x_{n+1},x_{n+2},… apenas somando n valores já dados.

Passo 2

Definimos a diferença de primeira ordem como
ΔPk=Pk+1-Pk,
e iteramos
Δ^mPk=Δ(Δ^m-1Pk)
Como P tem grau n, vale Δ^{n+1}P_k=0 e Δ^nP_k é constante (independe de k).

Passo 3

Considere agora o valor P_{n+1}=P(x_{n+1}). Usamos que
Pn+1-Pn=ΔPn
e mostramos que essa diferença ΔP_n se expande em soma das diferenças conhecidas. Note que, por definição de Δ, para 1≤k≤n,
Δ^kPn-k=Δ^k-1Pn-k+1-Δ^k-1Pn-k
Somando em k de 1 a n obtém-se
$$
ΔP_n=
∑_{k=1}kP_{n-k}.
$$

Passo 4

Então
Pn+1=Pn+ΔPn =Pn+sumk=1^nΔ^kPn-k
ou seja
Pn+1=Pn+ΔPn-1+Δ^2Pn-2++Δ^nP0,
que é uma soma de n+1 termos conhecidos (P_n e as n diferenças).

Passo 5

Para calcular P_{n+2}, basta atualizar as diferenças e repetir: primeiro se obtém ΔP_{n+1}=∑_{k=1}kP_{n+1-k}, depois P_{n+2}=P_{n+1}+ΔP_{n+1}. Cada etapa faz soma exata de n parcelas já calculadas.

Resposta

P(x_{n+1})=P_n+ΔP_{n-1}+Δ2P_{n-2}+…+ΔnP_0, e iterando esse processo obtém-se P_{n+2},P_{n+3},… também por soma de n termos conhecidos.

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