Seja
um polinômio algébrico para o qual são conhecidos as quantidades
, onde
Mostre que os valores de
, para
, podem ser calculados através de soma de
termos, cada um sendo uma das quantidades dadas.
Passo 1
Temos um polinômio algébrico P de grau ≤ n, cujos valores em x₀+k h até k=n e as diferenças δP_{n−1}, δ²P_{n−2}, …, δⁿP₀ são conhecidos. Precisamos achar P(x) em x=x_{n+1},x_{n+2},… apenas somando n valores já dados.
Passo 2
Definimos a diferença de primeira ordem como
e iteramos
Como P tem grau n, vale Δ^{n+1}P_k=0 e Δ^nP_k é constante (independe de k).
Passo 3
Considere agora o valor P_{n+1}=P(x_{n+1}). Usamos que
e mostramos que essa diferença ΔP_n se expande em soma das diferenças conhecidas. Note que, por definição de Δ, para 1≤k≤n,
Somando em k de 1 a n obtém-se
$$
ΔP_n=
∑_{k=1}nΔkP_{n-k}.
$$
Passo 4
Então
ou seja
que é uma soma de n+1 termos conhecidos (P_n e as n diferenças).
Passo 5
Para calcular P_{n+2}, basta atualizar as diferenças e repetir: primeiro se obtém ΔP_{n+1}=∑_{k=1}nΔkP_{n+1-k}, depois P_{n+2}=P_{n+1}+ΔP_{n+1}. Cada etapa faz soma exata de n parcelas já calculadas.
Resposta
P(x_{n+1})=P_n+ΔP_{n-1}+Δ2P_{n-2}+…+ΔnP_0, e iterando esse processo obtém-se P_{n+2},P_{n+3},… também por soma de n termos conhecidos.