Usado o método de Euler, encontrar soluções aproximadas para os seguintes problemas:
Sendo y^{\prime}(x)=[y(x)]^{2}+1, y(0)=1, encontrar solução aproximada para y(1), usando passos h=1,0.5 e 0.25.

Passo 1

O enunciado pede a aproximação de y(1) para a EDO
y'(x)=y(x)^2+1,\quad y(0)=1
usando o método de Euler. Esse método usa o passo h e a fórmula de iteração
y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),
onde f(x,y)=y^2+1 e x_{n+1}=x_n+h. Vamos aplicar esse esquema para h=1, h=0,5 e h=0,25.

Passo 2

Aplicando h=1, temos apenas uma iteração de x_0=0 a x_1=1. Como y_0=1 e f(x_0,y_0)=1^2+1=2,
y_1 = y_0 + 1\cdot 2 = 1 + 2 = 3.
Logo, para h=1, y(1)\approx 3.

Passo 3

Para h=0,5 precisamos de duas iterações:
  1. n=0: x_0=0, y_0=1, f(x_0,y_0)=2, y_1 = 1 + 0,5\cdot 2 = 2.
  2. n=1: x_1=0,5, y_1=2, f(x_1,y_1)=2^2+1=5, y_2 = 2 + 0,5\cdot 5 = 4,5.
Como x_2=1, para h=0,5 obtemos y(1)\approx 4,5.

Passo 4

Para h=0,25 fazemos quatro iterações:
  1. x_0=0, y_0=1, f=2: y_1 = 1 + 0,25\cdot2 = 1,5.
  2. x_1=0,25, y_1=1,5, f=1,5^2+1=3,25: y_2 = 1,5 + 0,25\cdot3,25 = 2,3125.
  3. x_2=0,5, y_2=2,3125, f\approx2,3125^2+1=6,34765625: y_3 = 2,3125 + 0,25\cdot6,34765625 = 3,8994140625.
  4. x_3=0,75, y_3\approx3,8994, f\approx3,8994^2+1=16,1979: y_4 = 3,8994140625 + 0,25\cdot16,1979 \approx 7,9492.
Como x_4=1, para h=0,25 temos y(1)\approx7,9492.

Resposta

Para y(1) usando o método de Euler:
h=1\colon 3
h=0,5\colon 4,5
h=0,25\colon 7,9492

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