Qual valor de a para que a serie de potencia \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n}(x-a)^{n}}{n^{3}}
tem intervalo de convergencia [4,6]

Passo 1

O enunciado nos dá a série de potências
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}(x-a)^{n}}{n^{3}}
centrada em a, e pede que seu intervalo de convergência seja [4,6]. Para isso, vamos:
  1. Calcular o raio de convergência R usando o critério da raiz.
  2. Verificar que a convergência em ambos os extremos x=a\pm R é obtida para fechar o intervalo.
  3. Igualar [a-R,a+R] a [4,6] para encontrar a.

Passo 2

Cálculo do raio de convergência R. Os coeficientes da série são
c_n = \frac{(-1)^n}{n^3}.
Pelo critério da raiz,
R = \frac{1}{\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|c_n|}} =\frac{1}{\lim_{n\to\infty}n^{-3/n}} =\frac{1}{1} =1,
pois \lim_{n\to\infty}n^{1/n}=1.

Passo 3

Intervalo de convergência em (a-1,a+1) e verificação nos extremos:
Em x = a+1:
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\,(1)^n}{n^3} =\sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^n}{n^3},
que é uma série alternada com termos \frac{1}{n^3} decrescentes a zero, logo converge (até absolutamente).
Em x = a-1:
\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n\,((-1)^n)}{n^3} =\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^3},
que é uma série p-com p=3>1, também convergente.
Portanto o intervalo de convergência é o fechado [a-1,a+1].

Passo 4

Queremos [a-1,a+1]=[4,6]. Igualando extremidades:
a-1 = 4 \quad\Longrightarrow\quad a = 5,
e
a+1 = 6 \quad\Longrightarrow\quad a = 5.
Consistente em ambos.

Resposta

5

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