- Seja
um triângulo acutângulo. Sejam
o ortocentro e
o circuncentro de
. Se o quadrilátero
é cíclico, determine a medida do ângulo
.
a)
b)
c)
d)
e)
a)
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado diz que em um triângulo acutângulo
temos o ortocentro
e o circuncentro
. Afirma-se que o quadrilátero
é cíclico e pede-se
. Vamos usar fatos sobre ângulos formados por
e
em relação aos vértices de
, e a condição de concyclicidade.
Passo 2
No círculo circunscrito a
, o ângulo central que subtende o arco
é
Passo 3
Também é conhecido que, em qualquer triângulo, o ortocentro satisfaz
Passo 4
Se
são concíclicos, então os ângulos inscritos subtendidos pelo mesmo arco
são iguais. Em particular,
Passo 5
Igualando as expressões das duas etapas anteriores,