1. Seja A B C um triângulo acutângulo. Sejam H o ortocentro e O o circuncentro de A B C. Se o quadrilátero B H O C é cíclico, determine a medida do ângulo \angle B A C.
    a) 30^{\circ}
    b) 45^{\circ}
    c) 60^{\circ}
    d) 75^{\circ}
    e) 22,5^{\circ}

Passo 1

O enunciado diz que em um triângulo acutângulo ABC temos o ortocentro H e o circuncentro O. Afirma-se que o quadrilátero BHOC é cíclico e pede-se \angle BAC. Vamos usar fatos sobre ângulos formados por H e O em relação aos vértices de ABC, e a condição de concyclicidade.

Passo 2

No círculo circunscrito a ABC, o ângulo central que subtende o arco BC é
\angle BOC \;=\; 2\,\angle BAC.

Passo 3

Também é conhecido que, em qualquer triângulo, o ortocentro satisfaz
\angle BHC \;=\; 180^\circ \;-\;\angle BAC.

Passo 4

Se B,H,O,C são concíclicos, então os ângulos inscritos subtendidos pelo mesmo arco BC são iguais. Em particular,
\angle BHC \;=\;\angle BOC.

Passo 5

Igualando as expressões das duas etapas anteriores,
180^\circ - \angle BAC \;=\; 2\,\angle BAC \quad\Longrightarrow\quad 3\,\angle BAC = 180^\circ \quad\Longrightarrow\quad \angle BAC = 60^\circ.

Resposta

60^\circ

Exercícios relacionados