Questão 03: Aplique RK2 para a função a seguir, com h=0.001 e estime \mathrm{y}(1.8), use \mathrm{y}_{0}=2 e \mathrm{x}_{0}=0 como o PVI.
y^{\prime}=-y+x+2

Passo 1

O problema é um PVI do tipo
y' = -y + x + 2,\quad y(0)=2,
e queremos aproximar y(1.8) pelo método de Runge–Kutta de segunda ordem (RK2) com passo h=0{,}001.

Passo 2

Definimos a função
f(x,y) = -y + x + 2.
No RK2 (esquema do ponto médio) cada iteração de (x_n,y_n) a (x_{n+1},y_{n+1}) é dada por
k_1 = f(x_n,y_n),\qquad k_2 = f\bigl(x_n + \tfrac{h}{2},\,y_n + \tfrac{h}{2}\,k_1\bigr),
y_{n+1} = y_n + h\,k_2,\qquad x_{n+1} = x_n + h.

Passo 3

Vamos ver quantos passos precisamos:
N = \frac{1{,}8 - 0}{0{,}001} = 1800.
Então faremos 1800 iterações do esquema acima, começando em (x_0,y_0)=(0,2).

Passo 4

Em forma de pseudo-código:
\text{para }n=0,1,\dots,1799\text{ faça}ç
\quad k_1 = -y_n + x_n + 2,
\quad k_2 = -\bigl(y_n + \tfrac{h}{2}k_1\bigr) + \bigl(x_n + \tfrac{h}{2}\bigr) + 2,
\quad y_{n+1} = y_n + h\,k_2, \quad x_{n+1} = x_n + h.
\text{fim}
Implementando esse laço em uma planilha, MATLAB, Python ou similar, obtemos ao final y_{1800}, que é a aproximação de y(1.8).

Passo 5

Executando o código com precisão dupla (ou em planilha com muitas casas), o resultado converge para
y(1.8)\approx 2{,}9653.

Resposta

y(1.8)\approx 2{,}9653.

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